Математика

Вычитание

В 7 веке индийский математик и астроном Брахмагупта известной касты брахманов (просвещенных), которая сохранилась и до наших времен, изложил правила сложения и вычитания чисел с разными знаками. Он назвал положительные числа «доход», а отрицательные – «расход».

Брахмагупта излагал свои правила так:

1. Сумма двух имуществ есть имущество;
2. Сумма двух долгов есть долг;
3. Сумма имущества и долга равна их разности.

Если говорить современным математическим языком, то первое правило можно прочесть так: имущество – это положительное число, поэтому сумма двух положительных чисел есть число положительное.

Например, 5+3 = 8.

Долг — это отрицательное число. Поэтому второе правило можно сформулировать так: «Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное».

Например, (-2)+(-3) = -5.

И сформулируем третье правило: «Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший, и перед полученной разностью поставить знак числа, модуль которого больше».

Например, 5+(-7) = (7-5) = -2; 5+(-3) = 5-3 = 2.

Правило можно дополнить, указав, что же получается: имущество или долг. Если имущество больше долга, то получится имущество. Если имущество меньше долга, то получится долг.

Сумма положительного и отрицательного чисел равна их разности: 3 + (-5) = 3 - 5. Рассмотрим правую часть и заменим разность суммой: 3 - 5 = 3 + (-5). Уменьшаемое оставим без изменения, а вычитаемое напишем с противоположным знаком.

Таким образом, вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и вычитание положительных чисел: по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое. Чтобы найти искомое слагаемое, можно прибавить к сумме число, противоположное известному слагаемому.

Например, 8-3 = 11 и потому 11-8 = 3, а также 11+(-8) = 3.

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

$\mathit{a}\mathit{-}\mathit{b}\mathit{=}\mathit{a}\mathit{+}\mathit{(}\mathit{-}\mathit{b}\mathit{)}$        $\mathit{a}\mathit{-}\left(\mathit{-}\mathit{b}\right)\mathit{=}\mathit{a}\mathit{+}\mathit{b}$

Например, 4+(-7) = -(7-4) = -3;

13+(-7) = 13-7 = 6;

$-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=-\left(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}\right)=-\frac{1}{12}$.

Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму.

Например, -18-4 = -18+(-4) = -22;

-8+6-с = -8+6+(-с).

Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого. Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю.

Пример 1. Чему равна длина отрезка АВ, если А(-5) и В(6)?

Длина отрезка АВ показывает, на сколько единичных отрезков надо переместить вправо точку А, чтобы она перешла в точку В, т.е. сколько надо прибавить к числу -5, чтобы получилось число 6. Поэтому, если обозначить длину отрезка АВ буквой х, то

-5+х = 6

х = 6-(-5) = 11.

Значит, длина отрезка АВ равна 11 единичным отрезкам.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Пример 2. Найдем длину отрезка АВ, если А(1), В(4).

АВ = 4-1 = 3.

Пример 3. Найдем длину отрезка АС, если А(-2) и С(4).

АС = 4-(-2) = 4+2 = 6.