Математика

54. Нахождение числа по его дроби. Дробные выражения.

Рассмотрим задачу. Расчистили от снега $\frac{2}{5}$ катка, что составляет 800 м². Найдите площадь всего катка.

Обозначим площадь катка через х м². По условию $\frac{2}{5}$ этой площади равны 800 м², то есть $\frac{2}{5}x=800$. Значит, $x=800:\frac{2}{5}=800\bullet \frac{5}{2}=2000$ м² – вся площадь катка.

Для нахождения числа по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.

Пример 1. Пшеницей засеяно 2400 га, что составляет 0,8 всего поля. Найдите площадь всего поля.

2400 ∶ 0,8 = 3000 га – площадь всего поля.

Пример 2. Увеличив производительность труда на 7%, рабочий сделал за этот же срок на 98 деталей больше, чем намечалось по плану. Сколько деталей рабочий должен был сделать по плану?

Так как 7% = 0,07,то 98 ∶ 0,07 = 1400 деталей рабочий по плану должен был сделать.

Так как дробь $\frac{2}{3}$ равна частному 2:3, тогда и частное от деления можно записать с помощью черты. Например, выражение $(41,3-4,4):(15,3+33,9)$можно записать так: $\frac{41,3-4,4}{15,3+33,9}$.

Дробным выражением называется частное двух чисел, выражений. Знак деления обозначается чертой.

Например, $\frac{3,7}{8,5\bullet 6,2}$, $\frac{а-b}{a+b}$.

Выражение, которое находится над чертой, называется числителем, а выражение, которое стоит под чертой, называется знаменателем дробного выражения. В числителе и знаменателе дробного выражения могут быть любые числа, а также числовые или буквенные выражения.

С дробными выражениями можно выполнять такие же действия, что и с обыкновенными дробями.

Пример 3. Найдем значение выражения $\frac{3\frac{1}{2}}{1\frac{2}{3}}$.

Умножим числитель и знаменатель этого дробного выражения на 6, получим:

$\frac{3\frac{1}{2}}{1\frac{2}{3}}=\frac{3\frac{1}{2}·6}{1\frac{2}{3}·6}=\frac{21}{10}=2,1$.

Можно сформулировать общее правило: $\frac{\frac{а}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{\mathrm{ad}}{\mathrm{bc}}$.

Пример 4. Найдем произведение

$\frac{16,4}{1,4}\bullet 1\frac{3}{4}=\frac{16,4}{1,4}\bullet \frac{7}{4}=\frac{4,1}{0,2}=20,5$.

Пример 5. Найдем сумму

$\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4}=\frac{4+3}{1,4}=\frac{7}{1,4}=\frac{70}{14}=5$.

Или можно было сначала представить десятичные дроби в виде дробных выражений, а потом выполнять сложение.

$\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4}=\frac{20}{7}+\frac{30}{14}=\frac{40+30}{14}=\frac{70}{14}=5$.