Математика

Подобные слагаемые

Рассмотрим распределительное свойство умножения:

(a+b)·c=ac+bc справедливо для любых а,b и с.

Замену выражения (a+b)·c выражением ac+bc, а также выражения

с·(a+b) выражением сa+сb называют раскрытием скобок.

Пример 1. Раскроем скобки в выражении -3·(а-2b).

Умножим -3 на каждое из слагаемых а и -2b.

Получим -3·(а-2b) = -3·a+(-3)·(-2b) = -3a+6b.

Пример 2. Упростим выражение 2m-7m+3m.

В данном выражении все слагаемые имеют общий множитель m. По распределительному свойству умножения 2m-7m+3m = m·(2-7+3).

В скобках записана сумма коэффициентов всех слагаемых. Она равна -2.

Поэтому 2m-7m+3m = m·(2-7+3) = -2m.

В выражении 2m-7m+3m все слагаемые имеют общую буквенную часть и отличаются друг от друга только коэффициентами. Такие слагаемые называют подобными.

Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.

Слагаемые могут присутствовать лишь в тех выражениях, которые представляют собой сумму. Буквенная часть – это одна или произведение нескольких букв, которые представляют собой переменные. Слагаемые с буквенной частью – это произведение некоторого числа и буквенной части. Здесь некоторое число также носит название числового коэффициента.

Числовые коэффициенты подобных слагаемых могут быть равны, тогда мы говорим о том, что подобные слагаемые одинаковые. Если же числовые коэффициенты различаются, то подобные слагаемые будут разными.

Подобные слагаемые могут отличаться друг от друга только коэффициентами.

Возьмем для примера выражение 2⋅x⋅y+3⋅y⋅x и проверим, являются ли слагаемые 2⋅x⋅y и 3⋅y⋅x подобными. В задачах этот вопрос может иметь следующую формулировку: одинаково ли буквенное выражение части x⋅y и y⋅x указанных слагаемых? Буквенные множители в приведенном примере имеют различный порядок, что в свете данного выше определения не делает их подобными.

Однако, если использовать переместительное свойство умножения, то можно изменить порядок множителей, не влияя на результат умножения. Это позволяет нам переписать выражение: 2⋅x⋅y+3⋅y⋅x можно переписать в виде 2⋅x⋅y+3⋅x⋅y. Тогда слагаемые будут подобны.

Описанные три шага для экономии времени записывают в виде правила приведения подобных слагаемых. Согласно правилу:

Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Пример 3. Приведем подобные слагаемые в выражении 5а+а-2а.

В данной сумме все слагаемые подобны, так как у них одинаковая буквенная часть а. Сложим коэффициенты: 5+1-2 = 4. Значит, 5а+а-2а = 4а.

Под преобразованием выражений, которые содержат подобные слагаемые, подразумевается проведение сложения этих слагаемых. Проводится это действие обычно в три этапа:

1. перестановка слагаемых таким образом, чтобы подобные слагаемые оказались рядом;
2. вынесение за скобки буквенной части;
3. вычисление значения числового выражения, которое осталось в скобках.

Пример 4. Преобразуем выражение 3⋅x⋅y+1+5⋅x⋅y.

Выделим подобные слагаемые и переставим их друг к другу:

3⋅x⋅y+1+5⋅x⋅y = 3⋅x⋅y+5⋅x⋅y+1

Теперь вынесем за скобки буквенную часть:

x⋅y⋅(3+5)+1

Нам осталось вычислить значение выражения, которое записано в скобках:

x⋅y⋅(3+5)+1= x⋅y⋅8+1

Обычно числовой коэффициент записывается перед буквенной частью:

x⋅y⋅8+1 = 8⋅x⋅y+1.

Описанные три шага для экономии времени записывают в виде правила приведения подобных слагаемых.

Запишем более короткий вариант решения выражения, рассмотренного выше. В выражении 3⋅x⋅y+1+5⋅x⋅yкоэффициентами подобных слагаемых 3⋅x⋅y и 5·x·yявляются числа 3 и 5. Сумма коэффициентов равна 8. Умножим ее на буквенную часть и получим: 3⋅x⋅y+1+5⋅x⋅y = 8⋅x⋅y+1.

Решим задачу. В мешок помещается 20 кг картофеля или 14 кг капусты. В столовую привезли картофеля на 3 мешка больше, чем капусты. Всего привезли 1,62 ц картофеля и капусты. Сколько привезли мешков картофеля и сколько капусты?

Количество мешков с капустой, которые привезли в столовую, обозначим х.

Значит, масса капусты 14х кг, масса картофеля 20(х+3) кг, и в сумме овощи имеют массу 1,62 ц = 162 кг. Составим и решим уравнение:

20(х+3)+14х = 162

20х+60+14х = 162

34х+60 = 162

34х = 162-60

34х = 102

х = 102:34 = 3 мешка капусты.

3+3 = 6 мешков картофеля.

Примеры:

-9х+7х-5х+2х = (-9+7-5+2)х = -5х

5а-6а+2а-10а = (5-6+2-10)а = -9а

-8х+5,2а+3х+5а = х(-8+3)+а(5,2+5) = -5х+10,2а

7·(2х-3)+4(3х-2) = 14х-21+12х-8 = х(14+12)+(-21-8) = 26х-29.