Математика

Степень и ее свойства

Степенью числа а QEс натуральным показателем n, большим 1, называется выражение aⁿ, равное произведению n множителей, каждый из которых равен a.

Степенью числа а с показателем 1 является само число а.

Запись aⁿ можно прочитать как «а в степени n», «n-я степень числа а». Если надо найти значение числа в какой-либо степени, то говорим, что надо возвести это число в степень.

При возведении положительного числа в любую степень получается положительное число. Сколько бы раз мы не умножили положительное число само на себя, получим положительное число.

Если возвести число ноль в степень с натуральным показателем, то получим ноль. Действительно, сколько бы раз мы не умножили ноль сам на себя, получится ноль.

А вот при возведении отрицательного числа в степень может получиться как положительное, так и отрицательное число.

Возьмем число -3.

(-4)² = (-4) · (-4) = 16

(-4)³ = (-4) · (-4) · (-4) = 16 · (-4) = -64

(-4)⁴ = (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = 16 · (-4) · (-4) = (-64) · (-4) = 256

Обратим внимание на то, что если отрицательное число мы возводим в четную степень (2,4 и т.д.), то получаем положительное число, а если в нечетную степень (3,5 и т.д.), то отрицательное число.

Какое же место занимает арифметическое действие возведения в степень, с которым мы только что познакомились в иерархии всех арифметических действий? Если выражение не содержит скобок, то возведение в степень выполняется в первую очередь, потом - умножение или деление, а потом – сложение или вычитание.

Рассмотрим пример: а² · а⁴ = (а · а) · (а · а · а · а) = а · а · а · а · а · а = а⁶ = а²⁺⁴.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n верно равенство

а ^m · aⁿ = a^m+n

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

а ^m · aⁿ · а ^k = a^m+n+k

Посмотрим, что получается при делении степеней.

Например, а⁷:а⁵ = $\frac{а·а·а·а·а·а·а}{а·а·а·а·а·а}$ = а² = а^7-5

Для любого числа а≠0 и произвольных натуральных чисел m и n верно равенство

а^m:аⁿ = а^m-n

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Рассмотрим такой случай: aⁿ: aⁿ = a^n-n = a⁰.

Но мы знаем, что если число разделить само на себя, то получится единица. То есть а⁰ = 1.

Любое а≠0 в нулевой степени равно 1.

Посмотрим, что будет, если возвести в степень произведение. Например:

(аb)³ = ab · ab · ab = a · b · a · b · a · b. Используем переместительное свойство умножения и запишем так: a · a · a · b · b · b = a³ · b³.

Для любых а и b и произвольного натурального числа n верно равенство

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в степень каждый множитель, а результаты перемножить.

Аналогично для частного:

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

Рассмотрим еще один пример: (х⁵)² = (х⁵) · (x⁵) = х⁵⁺⁵ = х¹⁰.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n верно равенство

${\left(a^m\right)}^n=a^{m\bullet n}$

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.