Математика

Напоминание теоретических положений

 

Напомним, что линейной называется функция вида:

 

x - независимая переменная, аргумент;

у - зависимая переменная, функция;

k и m – некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Важно понимать смысл параметров k и m и на что они влияют.

 

Рассмотрение случаев параллельных и совпадающих прямых

 

 

Рассмотрим пример:

 

Пример 1:

, ,

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр  – это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент  отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный – убывать. Коэффициент  называется угловым коэффициентом.

Составим таблицы для построения графиков:

х	0	-0,5
у	1	0

Таблица для первой функции;

х	0	1
у	0	2

Таблица для второй функции;

х	0	0,5
у	-1	0

Таблица для третьей функции;

Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением m.

Рис. 1.

Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:

 и 

Если  но  то заданные прямые параллельны.

Если  и  то заданные прямые совпадают.

Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают – то система будет иметь бесчисленное множество решений.

 

Рассмотрение примера на свойства параметров функции

 

 

Рассмотрим задачи.

 

Пример 2 – определить знаки параметров k и m по заданному графику функции:

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k также плюс.

Рис. 2.

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k минус.

Рис. 3.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k плюс.

Рис. 4.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k также минус.

Рис. 5.

 

Рассмотрение случая пересекающихся прямых

 

 

Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:

 

Пример 3 – найти графически точку пересечения прямых:

 

 

Обе функции имеют график – прямую линию.

Угловой коэффициент первой функции , второй функции , , значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, при чем единственную.

Составим таблицы для построения графиков:

х	0	1,5
у	-3	0

Таблица для первой функции;

х	0	4
у	2	0

Таблица для второй функции;

Рис. 6.

Очевидно, что прямые пересекаются в точке (2; 1)

Проверим результат, подставив полученные координаты в каждую функцию:

Рис. 7.

 

Подведение итогов

 

 

Подведем итог. Заданы прямые:

 

 и 

Если  но  то заданные прямые параллельны.

Если  и  то заданные прямые совпадают.

Если  при любых значениях m заданные прямые имеют единственную точку пересечения.

Вывод: в данном уроке мы вспомнили теоретические положения относительно линейных функций и свойства их коэффициентов. Мы рассмотрели различные варианты взаимного расположения графиков линейных функций и решили несколько типовых задач.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Функции и графики (Источник).
2. Портал для семейного просмотра (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 1022, ст.223;
2. Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 1011, ст.221;
3. Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 1018, ст.222;