Математика

Тема 9: Линейная функция и линейные уравнения. Профильный уровень

Урок 11: Системы линейных уравнений с двумя переменными (Г.Г.Гаицгори)

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Основные методы решения систем уравнений

Мы уже умеем решать линейные уравнения. Займёмся решением систем линейных уравнений, а именно таких систем, в которых есть две переменные, например:

Есть два основных метода решения любых систем уравнений:

Метод подстановки.
Метод домножения и сложения.

Метод подстановки

Идея этого метода в следующем: пусть мы знаем значение одной из переменных. Тогда, чтобы найти вторую переменную, нужно подставить значение первой переменной в любое из уравнений. В результате получается обычное линейное уравнение, которое мы уже умеем решать.

Пример 1.

Рассмотрим в качестве примера систему уравнений:

Если нам скажут, что , то найти не составит труда – подставим значение , например, во второе уравнение:

Такой же результат получится, если подставить известное значение в первое уравнение:

Т. е. мы подставляем известное значение переменной, получаем линейное уравнение с одной переменной, которое мы уже умеем решать.

Но что делать, если ни одно из значений переменных нам не известно?

Предположим, что мы уже знаем значение переменной . Тогда из первого уравнения мы бы получили такое значение второй переменной:

Но значение переменной в обоих уравнениях должно получиться одинаковым:

Или:

Решим это линейное уравнение – домножим обе части уравнения на 2:

Перенесем все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без неё – в другую:

Получим решение системы:

Ответ: .

Каждый раз выражать переменную из двух уравнений необязательно.

Из первого уравнения мы получили:

Перепишем систему в эквивалентном виде:

Говорят: «мы выразили переменную из первого уравнения».

Как мы уже говорили, раз уравнения объединены в систему, то в каждом из этих уравнений речь идёт об одних и тех же . Значит, информацию об из первого уравнения можно использовать во втором.

Именно поэтому метод называется «методом подстановки»: информацию из одного уравнения подставляем в другое.

Заменим во втором уравнении на эквивалентное выражение из первого уравнения.

Получим:

Дальше всё то же самое: получили линейное уравнение с одной переменной , которое мы уже умеем решать:

Как записывать ответ

Рассмотрим систему уравнений:

Её решением будет пара чисел: и .

Записать этот ответ можно по-разному:

Ответ: .

Во всех случаях понятно, о чем идет речь. Но все же запись является уравнением (так как содержит знак равенства).

Решением системы является пара чисел, а не два уравнения (как во второй и третьей записях).

Так что формально верная запись ответа здесь только одна – в виде пары чисел .

Метод подстановки, когда одно условие подставляется в другое, мы часто используем в жизни. При желании можно изучить пример использования этого принципа при поиске человека в социальных сетях.

Поиск в социальных сетях

Пример 1.

Представьте такую ситуацию. Вы в гостях у своего друга Пети познакомились с девочкой Женей и, уже вернувшись домой, решили найти её в социальной сети.

Вот что вы знаете:

Она подруга Пети.
Она тоже учится в 7 классе, хоть и в другой школе.
Её зовут Женя.
Она тоже живёт в Москве.

Каждое из этих условий в отдельности имеет очень много «решений». Друзей у Пети много, 7-классниц огромное количество, как и девочек с именем Женя.

Но так как все эти условия относятся к одному человеку, то это система условий:

Решением системы является такой человек, который соответствует сразу всем условиям. И решаем эту систему мы методом подстановки. Выбираем одно условие, затем в него подставляем другое (из всех решений, удовлетворяющих первому условию, выбираем только те, которые также удовлетворяют второму) и т. д.

Итак:

Открываете страничку Пети и выбираете список всех его друзей. Это решения первого условия. Предположим, их 256 (см. рис. 1):

Рис. 1. Друзья Пети

Подставляем сюда второе условие. Раз она учится в 7 классе, то её возраст от 12 до 14 лет. Количество решений уменьшилось до 132. (см. рис. 2):

Рис. 2. Друзья Пети в возрасте от 12 до 14 лет

Добавляем условие, которое мы изначально забыли, но нам его подсказала сеть, – пол. Женский. Осталось 54. (см. рис. 3):

Рис. 3. Девочки – подруги Пети в возрасте от 12 до 14 лет

Ещё одно условие – город проживания Москва. Осталось 37 человек (см. рис. 4):

Рис. 4. Девочки – подруги Пети в возрасте от 12 до 14 лет, живущие в Москве

Наконец, вводим имя девочки – Женя. Осталось 2 человека (см. рис. 5):

Рис. 5. Подруги Пети по имени Женя в возрасте от 12 до 14 лет, живущие в Москве

Итак, система имеет два решения, из них несложно выбрать нужного нам человека.

Мы последовательно в одно условие подставляли другое, и так 4 раза, т. е. решали задачу методом подстановки.

Сформулируем алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

Выразить одну (любую) переменную из любого уравнения через другую переменную.
Подставить полученное выражение в другое уравнение.
Решить уравнение с одной переменной.
Найденное значение переменной подставить в первое уравнение и найти значение второй переменной.

Практика. Метод подстановки

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение:

Выразим из первого уравнения:

И подставим во второе уравнение:

Решим второе уравнение – для начала раскроем скобки:

Таким образом, получим следующую систему:

Во втором уравнении получили очевидный факт – верное равенство. Эта запись не несёт никакой полезной информации для нас, мы её можем исключить. Тогда останется только первое уравнение.

Система эквивалентна одному уравнению:

а её решение – это решение данного уравнения, которых бесконечно много.

Итак, если после подстановки мы получили верное числовое равенство, то система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

Пример 2. Решить систему уравнений:

Решение:

Выразим из первого уравнения:

Подставим выражение во второе уравнение:

Решим полученное уравнение с одной переменной – раскроем скобки, используя распределительный закон, и получим:

Таким образом, получим следующую систему:

Получили неверное числовое равенство. Т. е. уравнение, полученное после подстановки, не имеет решения. Задаем себе вопрос: при каких значениях переменных и : ?

Не существует таких значений. Делаем вывод: система не имеет решений.

Таким образом, если после подстановки мы получили неверное числовое равенство, то решений у системы нет.

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение:

Одно из уравнений содержит только одну переменную. Задача становится только проще. Выражаем и подставляем во второе уравнение:

Получаем решение:

Ответ: .

Метод домножения и сложения

Пусть у нас есть двое уравновешенных весов. Если мы пересыпаем все с левых чаш на одну чашу других весов, а с правых – на вторую, то весы также будут уравновешены. Т. е. если сложить правые и левые части верных равенств, мы также получим верное равенство.

Как мы можем использовать это для решения систем линейных уравнений? Можно сложить уравнения системы. Зачем нам это делать? Если мы в результате избавимся от одной переменной, то получим линейное уравнение с одной переменной, которое мы умеем решать.

Пример 2. Решить систему уравнений:

Мы видим, что уравнения содержат слагаемые и , которые взаимно уничтожатся при сложении.

Сложим отдельно левые и правые части уравнений системы:

Получаем:

Мы получили линейное уравнение с одной переменной, решим его:

Теперь подставим найденное значение в любое из уравнений системы, например в первое, и найдем :

Получаем решение:

Ответ: .

В этом и состоит идея метода – исключить сложением одну из переменных.

Конечно, мы рассмотрели простой пример. Редко бывает, чтобы в двух уравнениях были слагаемые с одинаковыми (по модулю) коэффициентами. Поэтому нужно научиться приводить любую систему уравнений к эквивалентному виду, содержащему такие слагаемые. Как это сделать?

Вспомним, что при умножении и делении обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число получается эквивалентное уравнение, содержащее ту же информацию (с теми же корнями).

Пример 3. Решить систему уравнений:

Умножим обе части первого уравнения на :

Получим:

Заметим, что уравнения содержат слагаемые и . Теперь уже можно воспользоваться методом сложения:

Подставим найденное значение в первое уравнение:

Получаем решение:

Ответ: .

Сформулируем алгоритм решения систему уравнений методом домножения и сложения:

Преобразовать уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной (если необходимо).
Сложить отдельно левые и правые части уравнений системы.
Решить уравнение с одной переменной.
Найденное значение переменной подставить в любое уравнение и найти значение второй переменной.

Практика. Метод домножения и сложения

Пример 1. Решить систему уравнений:

Преобразуем уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной:

Получим следующую систему:

Складываем уравнения:

Подставим найденное значение в первое уравнение системы:

Ответ: .

Пример 2. Решить систему уравнений:

Упростим уравнения: избавимся от знаменателей:

Тогда получим:

Раскроем скобки при помощи распределительного закона:

Приведем подобные слагаемые:

Преобразуем уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной:

Получаем:

Складываем уравнения:

Подставим найденное значение в первое уравнение системы:

Ответ:

Пример 3. Решить систему уравнений:

Упростим при помощи распределительного закона :

Упростим выражения в уравнениях системы:

Получаем:

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые:

Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а без них – в правую:

Преобразуем уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной:

Получаем:

Складываем уравнения:

Подставим найденное значение в первое уравнение системы:

Ответ: .

Решение систем линейных уравнений при помощи графиков

Т. к. графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая, то решение системы можно иллюстрировать при помощи прямых.

Пример 4. Решить систему уравнений:

Изобразим множество решений каждого уравнения: построим графики уравнений.

Рассмотрим первое уравнение:

Множество решений – прямая. Чтобы ее изобразить, нужны две любые точки, т. е. два любых решения. Можно взять, например, такие решения:

Отметим эти решения на координатной плоскости и проведём через них прямую. Мы получили все решения первого уравнения системы (см. рис. 1).

Рис. 1. График прямой

Аналогично для второго уравнения:

Возьмем, например, точки .

Изобразим их на координатной плоскости и проведём через них прямую (см. рис. 2).

Рис. 2. График прямой

Итак, каждая прямая – это множество решений одного уравнения. Где находится точка, которая является решением обоих уравнений? Конечно, это точка пересечения прямых.

По-другому это решение можно записать в виде пары чисел, а именно координат точки пересечения: (см. рис. 3).

Рис. 3. Точка пересечения прямых и

Решение превращает уравнение в верное числовое равенство. Проверим, т. е. вместо переменных подставим найденные значения:

Ответ: .

Когда у системы нет решений

Вспомним пример с домом и двумя улицами:

Система этих двух условий означает, что один и тот же дом находится и на одной, и на другой улице. Решение системы: дом находится на перекрестке (см. рис. 1).

Рис. 1. Решение системы: дом находится на перекрестке

Но что, если улицы окажутся параллельными (см. рис. 2)? Тогда дом никак не может быть одновременно на двух улицах. Решения у такой системы нет.

Рис. 2. Решения у системы нет

Точно такая же ситуация с системой двух уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение:

Построим графики уравнений. Возьмем по два решения для каждого из уравнений.

Например,

и для

Графики параллельны. Общих точек не существует. Решения у системы нет (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1

Можно ли это было увидеть, не строя графиков? Да, можно.

Разделим обе части второго уравнения на :

Ни при каких значениях и левая часть не может быть равна и , и одновременно.

Ответ: Решений нет.

Когда у системы бесконечное множество решений

Снова вернемся к дому и двум улицам. Представим теперь, что это просто два разных названия одной и той же улицы (старое и новое) (см. рис. 1).

Рис. 1. Решений у системы много

Тогда второе условие ничего не добавляет к первому. Решений много: дом может находиться в любом месте улицы.

То же самое с системой уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение:

Найдем два решения первого уравнения: . Например, и

Но для второго уравнения они тоже подходят.

Т. е. графики уравнений совпадают (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

Каждая точка прямой является общей для обоих графиков, значит, является решением системы. Решений бесконечно много, они совпадают с множеством решений каждого уравнения.

Могли бы мы это увидеть без построения графика? Да, могли.

Разделим обе части второго уравнения на 2:

Система содержит два одинаковых уравнения. Но информация, повторенная второй раз, ничего нового не сообщает. Одно уравнение можно «удалить».

Система эквивалентна одному уравнению:

А её решения – это решения уравнения.

Количество решений

Рассмотрим общий вид системы линейных уравнений с двумя переменными:

Решения каждого уравнения лежат на соответствующей прямой. Для удобства выразим в каждом уравнении, чтобы получить два стандартных уравнения прямых:

(Случаи попробуйте рассмотреть самостоятельно – их отличие в том, что одна или обе прямые будут вертикальными.)

1. Если прямые совпадают, то система будет иметь бесконечное количество решений.

Для этого коэффициенты прямых должны совпадать:

2. Если прямые будут параллельны, но не будут совпадать, то система не будет иметь решений. Для этого необходимо, чтобы угловые коэффициенты были равны и чтобы свободные коэффициенты были разными:

3. Если прямые будут пересекаться, то система уравнений будет иметь одно решение. Для этого достаточно, чтобы прямые не были параллельными, т. е. их угловые коэффициенты не должны быть равны:

Обобщим сказанное выше. По виду системы линейных уравнений можно определить количество её решений:

1. Бесконечное количество решений (прямые совпадают):

2. Нет решений (прямые параллельны):

3. Одно решение (прямые пересекаются):

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение систем линейных уравнений, т. е. систем вида

Есть два основных метода их решения: метод подстановки и метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки

Выразить одну (любую) переменную из любого уравнения через другую переменную.
Подставить полученное выражение во второе уравнение.
Решить уравнение с одной переменной.
Найденное значение переменной подставить в первое уравнение и найти значение второй переменной.

Алгоритм решения системы уравнений методом сложения

Преобразовать уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной (если необходимо).
Сложить отдельно левые и правые части уравнений системы.
Решить уравнение с одной переменной.
Найденное значение переменной подставить в любое уравнение и найти значение второй переменной.

Мы рассмотрели оба метода решения систем линейных уравнений. Как видим, есть чёткий алгоритм решения любой такой системы. А, как мы знаем, то, для чего есть чёткая инструкция – алгоритм, можно поручить компьютеру. И действительно, современные программы позволяют решать системы уравнений (причём не только линейные, но и более сложные и даже с большим количеством переменных).

Но, во-первых, разработчики таких программ сами должны понимать суть алгоритма и уметь его применять для решения систем уравнений. Во-вторых, те, кто не будут сталкиваться с такой задачей, должны понимать, что никакого чуда в работе современной техники нет (в том же навигаторе для определения координат используется решение систем уравнений) и, при необходимости, уметь составить и решить систему уравнений (например, для определения того, в какой пропорции нужно взять вещества для приготовления блюда или строительной смеси).

Список литературы

Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, М.: «Просвещение», 2017.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Образовательный портал 100ballov.kz

2. Интернет-портал «Науколандия»

3. Интернет-портал «открытыйурок.рф»

Домашнее задание

1. Решить систему уравнений методом подстановки: