Математика

Пример алгебраического выражения (площадь квадрата)

 

Рассмотрим следующие примеры.

 

Пример 1. Чему равна площадь квадрата со стороной 2? (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

Решение. Очевидно, что площадь квадрата со стороной 2 равна: .

Ответ: 4.

Пример 2. Чему равна площадь квадрата со стороной 3? (Рис. 2)

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

Решение. Очевидно, что площадь квадрата со стороной 3 равна: .

Ответ: 9.

Запишем формулу для вычисления площади квадрата в общем случае при условии, что задана длина стороны квадрата. Для этого необходимо длину стороны умножить на саму себя. Записать это можно так: , где  – сторона квадрата.

 

Пример алгебраического выражения (формула для многократного вычисления)

 

 

Рассмотрим пример, когда нужно посчитать, сколько машин понадобится для перевозки груза, если известно количество мешков, которые нужно перевезти, масса каждого мешка и грузоподъемность одной машины.

 

 

Пример 3. Пусть имеется 15 мешков, масса каждого 40 килограммов, а грузоподъемность машины – 200 кг. Сколько машин понадобится для перевозки всех мешков? (Рис. 3)

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3

Решение: Для нахождения количества машин, необходимых для перевозки всех мешков, умножим количество мешков на массу одного мешка и разделим на грузоподъемность одной машины: .

Ответ: 3 машины.

В условии задачи количество мешков может быть другим, например: 20, 57, 100. Тогда каждый раз нужно будет заново решать задачу и выполнять одни и те же действия. Чтобы этого избежать, можно один раз составить формулу, по которой всегда можно будет производить вычисления.

Количество машин должно быть не меньше, чем  (Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация выведения формулы для многократного вычисления

 

Теперь по этой формуле любой сможет произвести расчеты, не задумываясь, как она была получена, а просто подставляя значения. Кроме того, можно запрограммировать компьютер, тогда можно подставлять конкретные данные, а вычисления будет производить он.

Составленное выше выражение можно записать короче, например, так: , где  – количество мешков,  – масса каждого мешка,  – грузоподъемность одной машины.

 

Пример алгебраического выражения (переместительный закон)

 

 

Переместительный закон сложения звучит так: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Например,  или .

 

Слагаемые могут быть любыми числами. Т.е. формулировку закона можно переписать так: , где  – любые числа. Эта запись несет ту же информацию, только в более компактной форме.

 

Числовые выражения

 

 

Как видно, в некоторых случаях удобнее заменять числа буквами, которые ещё называют переменными (их значения можно «переменять»).

 

Пример 4. Необходимо посчитать количество цветов в двух комнатах. В одной комнате их 5, а во второй – 3 (Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 4

Решение. Очевидно, для нахождения общего количества цветов достаточно сложить следующие числа: .

Ответ: 8.

В примере 4 запись  является числовым выражением.

Определение: числовое выражение – это запись, составленная только с помощью чисел, знаков действий и скобок, при этом запись должна быть составлена со смыслом.

Что значит «составлена со смыслом»? В языке есть фразы, которые понятны другим людям (предложения). Так и в математике: если понятно, что делать c выражением, как вычислить его значение, то запись составлена со смыслом.

Например, запись  состоит из чисел, знаков действий и скобок, однако его значение нельзя вычислить (как числовое выражение оно не имеет смысла), поэтому оно не является числовым выражением.

Запись  является числовым выражением, т.к. его значение можно вычислить.

 

Алгебраические выражения

 

 

В условии задачи могут быть не цветы, а 5 машин и 3 машины , пять восьмых  и три восьмых  . И это не повлияет на результат.

 

Можно записать так:  (5 чего-то и 3 чего-то равно 8 чего-то), где вместо  может быть любой предмет (цветы, машины, книги, ящики и т.д.).

В математике обычно в таких случаях используют буквы , например, . Заменяя объекты буквами, можно работать не с самими объектами, а с математическими выражениями. Т.е. после выполнения действий с некоторой абстрактной переменной  полученный результат будет верен для любых объектов (цветов, машин, деталей и т.д.). Тогда выражение  называется алгебраическим выражением.

Определение: алгебраическое выражение – это всякая составленная со смыслом запись, которая может содержать только числа, буквы, знаки действия и скобки. Из определения следует, что любое числовое выражение одновременно является и алгебраическим.

Примеры алгебраических выражений:  .

 

Задание 1 (алгебраические выражения)

Выберите алгебраические выражения:

Решение.

 является алгебраическим выражением (вместо  можно подставить какое-нибудь число и вычислить значение выражения).

 не является алгебраическим выражением, т.к. содержит знак равно .

 не является алгебраическим выражением, т.к. содержит знак равно .

 не является алгебраическим выражением, т.к. нельзя вычислить его значение (не имеет смысла).

 является алгебраическим выражением (вместо  можно подставить какие-нибудь числа и вычислить значение выражения).

 является и алгебраическим выражением, и числовым (его значение можно вычислить ).

Ответ: .

 

Как найти значение алгебраического выражения

 

 

Чему равно значение выражения , если ? Подставим вместо  число 3 и посчитаем: .

 

Так можно поступить с любым алгебраическим выражением – найти его значение при заданных значениях переменных.

 

Пример 5. Найти значение выражения , если .

Решение. Подставим значения переменных  в выражение: .

Ответ: .

 

Пример 6. Найти значение выражения , если .

Решение. Подставим значения переменных  в выражение: .

Ответ: .

 

Задание 2. Запишите формулу целых чисел, которые при делении на 9 дают остаток 2. Найдите количество таких чисел в пределах от 100 до 300.

Решение.

Пусть  – некоторое число. Если  делится на 9, то в его разложении на множители 9 было бы одним из них, т.е. . Т.к. число должно иметь остаток 2 при делении на 9, то тогда его можно записать так: .

Первое такое число, большее 100, – это 101 (при ), а последнее число – это 299 (при ). Значит, всего таких чисел: .

Ответ: .

 

Заключение

На этом уроке мы познакомились с алгебраическими и числовыми выражениями, научились вычислять значение алгебраических выражений. На следующем уроке мы узнаем, как работать с алгебраическими выражениями.

 

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, «Просвещение», 2017.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2014.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2013.

 

Домашнее задание

1. Найдите значения следующих числовых выражений: ;
2. Найдите значение алгебраического выражения , если .
3. Найдите  от числа .