Математика

Решение числовых выражений

 

Числовые выражения – это те выражения, которые составлены из чисел и знаков арифметических операций – сложения, вычитания, умножения, деления.

 

Пример 1

.

Это числовое выражение, которое необходимо упрощать.

Рассмотрим ещё несколько примеров числовых выражений.

 

Решение простых алгебраических выражений

 

 

Пример 2

 

,

,

.

При замене некоторых чисел буквами образуется алгебраическое выражение. При замене двух чисел буквой получается выражение . Первое слагаемое – это , второе слагаемое – это . В результате образуется алгебраическое выражение. В этом алгебраическом выражении буквенные переменные (так как они могут принимать разные значения) обозначают различные числа. Числа могут быть целыми, дробными, положительными, отрицательными. Таким образом, алгебраические выражения базируются на работе с числовыми выражениями.

Правило: от перемены мест слагаемых сумма не меняется – справедливо для чисел 4 и 5, для чисел 6 и 1. Если обобщить этот закон для всех чисел, то его можно записать в алгебраическом виде: обозначим первое слагаемое -  , второе – . В результате получаем:

.

Значит данное правило применимо для алгебраических выражений.

Получаем, что для алгебраических выражений числовые выражения являются частным случаем.  Поэтому действия с числовыми выражениями применимы и к алгебраическим выражениям. Рассмотрим несколько примеров на числовые выражения.

 

Пример 3

Решение:

Проведем группировку: сложим первое число с третьим, а второе с четвертым.

В результате получаем:

.

Ответ: .

 

Примеры решения алгебраических выражений при заданных значениях переменных

 

 

Пример 4

 

Найти значение выражения  при: .

Решение:

Это выражение является алгебраическим. В данном случае число  и число  – буквенные переменные, которые могут принимать любые значения. Значит, необходимо вычислить данное алгебраическое выражение при некоторых, конкретных заданных значениях буквенных переменных – это одна из стандартных задач для алгебраических выражений.

Подставим значения переменных, получим числовое выражение и вычислим его.

1. .
   Ответ: .
2. Поступаем аналогично, подставляя вместо буквенных переменных их численные значения: .
   Ответ: .
3. Аналогично: .
   Ответ: .

 

Примеры решения числовых выражений преобразованием в алгебраические

 

 

Повторим основные действия с числовыми выражениями для дальнейшего решения алгебраических примеров.

 

Пример 5

Найти значение выражения:

Решение:

Обозначим все, что стоит в первой скобке за  (буквенная переменная состоит из конкретных числовых данных). Второе выражение обозначим за , а все, что стоит в знаменателе, обозначим за .

Все искомое выражение обозначим за .

Для вычисления , необходимо сначала вычислить , разделить его на  и разделить на :

Перегруппируем слагаемые в выражении :

.

Найдем значение второй скобки:

Вычислим значение :

Найдем значение начального выражения:

Ответ: .

 

При решении мы пользовались правилами порядка арифметических действий, а также правилами: от перемены мест слагаемых сумма не меняется (); от перемены мест множителей произведение не меняется (.

 

Примеры на нахождение допустимых и недопустимых значений переменных

 

 

Особенностью алгебраического выражения является то, что не всегда буквы могут принимать произвольное значение. Есть такое понятие – допустимые значения букв и недопустимые значения букв. Рассмотрим на конкретном примере:

 

Пример 6

Найти допустимые и недопустимые значения :

Решение:

Данное выражение является арифметическим. В соответствии с алгебраическими законами данное выражение не имеет недопустимых значений, так как любое число можно возвести в квадрат.

Ответ:  – любое.

 

Пример 7

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения.

Решение:

Так как на ноль делить нельзя (а на остальные числа можно), то допустимыми значениями  являются любые числа, кроме : .

Ответ: .

 

Пример 8

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения .

Решение:

Для решения опять необходимо учесть, что знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

.

Ответ: .

 

Пример 9

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения

Решение:

Знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

.

Ответ: .

 

Пример 10

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения

Решение:

Знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

Ответ: .

 

Необходимо запомнить, что если выражение стоит в знаменателе, то оно не должно быть равно . Это накладывает определенные ограничения на значения буквенной переменной. Рассмотрим ещё один пример на нахождение допустимых и недопустимых значений переменной.

 

Пример 11

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения: .

Решение:

Знаменатель не должен быть равен :

Значит:  или .

Ответ: .

Мы рассмотрели числовые и буквенные выражения. Кроме того, мы рассмотрели связь между числовыми и буквенными выражениями. Также на данном уроке были озвучены правила работы с арифметическими выражениями, которые остаются верны и для алгебраических.

На следующем уроке мы повторим правила работы с числовыми выражениями и с натуральными числами.

 

Список рекомендованной литературы.

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ  
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованное домашнее задание.

№ 5-7 стр. 10-11. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

1. Найти значение выражения:
   а)  при .
   б)   при .
   в)  при .
2. Найти недопустимые значения выражений:
   а)  ; б) ; в)  ; г)