Математика

Повторение (алгебраическое выражение)

 

Определение: алгебраическое выражение – это любая составленная со смыслом запись, которая может содержать только числа, буквы, знаки действия и скобки. Например, .

 

Можно вычислить значение алгебраического выражения при заданных значениях переменных, для этого достаточно подставить значение в выражение и выполнить вычисления. Например, при  значение выражения : .

 

Задача на вычисление значения алгебраического выражения при заданном значении переменной

 

 

Задача 1. Найдите значение выражения  при .

 

Решение. Подставим значение  в выражение и выполним вычисления:

Ответ: .

В задаче 1 получилось деление на 0. Можно попробовать поделить 3 на 0, например, на калькуляторе. Убедитесь сами, что калькулятор не смог найти значение этого выражения. Не получится и у нас. Деление на 0 не имеет смысла, не определено.

 

---

 

Почему деление на ноль не определено?

0 был введен как часть большого механизма под названием целые числа для обозначения отсутствия чего-то. 0 облегчает счет и запись чисел, но нулевого количества нет, на него не укажешь пальцем, поэтому сказать, сколько 0 содержится в другом числе нельзя.

Разделить 3 на 0 означает сказать, сколько раз в 3 ничего нет. Ответить на вопрос, сколько в гараже квадратных метров можно, но ответить, сколько в нем пустоты, – нет.

Если бы был придуман какой-то смысл для выражения , то это противоречило бы некоторым известным свойствам и определениям, например свойствам умножения, поэтому деление на 0 не определяют.

Можно все же попробовать разделить 3 на 0. Деление – это действие, обратное умножению, т.е., если .

Но при умножении на 0 всегда получается 0, т.е. такого  просто не существует.

 

Рассмотрим случай деления 0 на 0, чтобы не возникало ощущения, что он – особый и отличается от деления 3 на 0.

Равенство будет справедливым для любого , потому что  Но результат деления должен быть конкретным числом. Снова получаем противоречие.

Поэтому деление на 0 в математике не определено.

---

 

 

Недопустимые значения переменных

 

 

Подставить в алгебраическое выражение можно любое число, но не всегда получится посчитать его значение.

 

 

Определение: такие значения переменной, при которых выражение не определено (нельзя вычислить его значение), называют недопустимыми значениями.

 

На данный момент мы знакомы только с одним таким случаем. Например, если в выражении есть дробь  или деление , то мы не будем подставлять в выражение такие значения переменной, при которых знаменатель обращается в 0: .

Есть и другие случаи появления недопустимых значений переменных, но о них мы узнаем позже, по мере изучения различных функций.

 

Рассмотрим примеры на определение недопустимых значений переменных в выражениях.

Пример 1. Определить недопустимые значения переменной  в выражении .

Решение. Выражение  представляет собой дробь, поэтому её знаменатель  не может обращаться в 0: .

Таким образом, недопустимым значением переменной  является 0, т.е. выражение определено для любых .

Ответ: 0.

 

Пример 2. Определить недопустимые значения переменной  в выражении .

Решение. Выражение  представляет собой дробь, поэтому её знаменатель  не может обращаться в 0: .

Таким образом, недопустимым значением переменной  является 5, т.е. выражение определено для любых .

Ответ: 5.

 

---

 

Где еще можно встретить деление на ноль?

Докажем, что . Введем переменные , пусть .

Запишем:

Получим равенство:

Перегруппируем слагаемые и получим:

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из частей равенства:

Разделим обе части равенства на  и получим:

Получили, что . В чём подвох? Дело в том, что в наше «доказательство» вкралась ошибка: было выполнено деление на 0 при делении обеих частей равенства на выражение  (по предположению эти числа равны: ).

 

Это пример математического софизма – утверждения с доказательством, в котором кроются ошибки. Софизмы бывают не только математическими, например, фраза «Ты не терял то, что у тебя есть. Ты не терял рога и хвост. Значит, у тебя есть рога и хвост» содержит логическую ошибку: из первой фразы не следует, что у тебя есть всё, что ты не терял.

Наиболее известными софизмами являются апории Зенона. Подробнее узнать о них вы можете по этой ссылке.

---

 

 

Действия с числовыми выражениями

 

 

Мы уже сталкивались с эквивалентными выражениями, когда приводили дроби к общему знаменателю. Мы записывали цепочки эквивалентных дробей и выбирали из них те, у которых одинаковый знаменатель:

 

 и  

Например, в данном случае это будут дроби: .

Эквивалентные выражения можно заменять друг другом, от этого смысл и значение записи не изменится.

Например, пусть есть выражение . Можно выполнить умножение и получить выражение . Оба эти числовых выражения равны, эквивалентны.

Если же выполнить все действия в каком-то числовом выражении, то получится его значение: , т.е.  – значение числового выражения . Выполнив все действия, мы упростили числовое выражение.

 

Действия с алгебраическими выражениями

 

 

Алгебраические выражения могут быть записаны по-разному, но означать одно и то же, например:  и .

 

Можно ли сказать, что выражение упрощено? Обычно под упрощением подразумевают эквивалентную запись в таком виде, чтобы для вычисления значения выражения нужно было выполнить как можно меньше действий.

Например, чтобы вычислить значение выражения  при заданном значении переменной необходимо выполнить 3 действия, а для выражения  – одно действие. Конечно, разница в 2 действия невелика, но, если бы такую операцию нужно было бы проделать 50 раз, тогда разница была бы уже в целых 100 действий.

 

Задача 2. Докажите, что выражение  эквивалентно выражению .

Доказательство

Дважды воспользуемся распределительным законом :

Задача 3. Упростите выражение: .

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов :

Ответ: .

 

Сравним количество действий, которое необходимо сделать, чтобы вычислить первое выражение и второе. В первом случае нужно было выполнить 5 действий, а во втором – только 1. В таких случаях говорят, что мы упростили алгебраическое выражение.

---

 

Недопустимые значение переменных

Найдем недопустимые значения переменных для выражения: .

Знаменатель дроби содержит переменные, определим, когда он обратится в 0:

Т.е. недопустимыми значениями переменных будут противоположные значения. Например, если , то .

---

 

Эквивалетность выражений

Выражения  и  не являются эквивалентными для любых  и , т.к. первое выражение определено, когда , а второе выражение определено при любых значениях переменных  и .

Т.е. эти выражения будут эквивалентными только для таких  и , которые не являются противоположными числами.

---

 

 

Примеры упрощения алгебраических выражений

 

 

Задача 4. Упростите выражение: .

 

Решение. Воспользуемся распределительным законом, чтобы раскрыть обе скобки:

Ответ: .

 

Задача 5. Упростите выражение: .

Решение: воспользуемся распределительным законом, чтобы раскрыть внутренние скобки, затем упростим полученное в скобках выражение и снова применим распределительный закон:

Ответ: .

---

 

Всегда ли лучше упрощать выражение

Задача 1. Найдите значение выражения , если , .

Решение.

Вычисление с упрощением выражения (воспользуемся формулой разности квадратов, которая была записана ранее):

Вычисление без упрощения выражения:

Ответ: 30.

В данном случае оказалось, что считать быстрее, если выражение не упрощать.

Таким образом, упрощать или не упрощать выражение, нужно решать в зависимости от условия и удобства решения конкретной задачи.

---

 

Задача 6. Пусть  и  – некоторые натуральные числа. Докажите, что разность чисел  и  делится на 4.

Доказательство

Рассмотрим разность чисел: .

Упростим выражение – раскроем скобки (помним, что минус перед скобками относится к обоим слагаемым в скобках):

 делится на , значит, и эквивалентное ему исходное выражение делится на .

Доказано

 

Заключение

На этом уроке мы вспомнили, как работать с числовыми выражениями, и научились работать с алгебраическими выражениями. Мы научились находить допустимые и недопустимые значения переменных для выражений, содержащих дроби или деление, а также обсудили, что значит упростить алгебраическое выражение.

 

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, «Просвещение», 2017.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2014.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «edufuture.biz» (Источник)
3. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Найдите значение выражения  при .
2. Упростите выражение: .
3. Раскройте скобки и докажите, что .