Математика

Выведение формулы разности кубов

 

При изучении формул сокращенного умножения мы уже изучили:

 

 – квадрат суммы и разности;

 – разность квадратов.

Выведем формулу разности кубов.

.

Наша задача – доказать, что при раскрытии скобок в правой части и приведении подобных слагаемых мы придем в результате к левой части.

Выполняем умножение многочленов:

.

Что и требовалось доказать.

Выражение  называется неполным квадратом суммы, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.

 

Выведение формулы суммы кубов

 

 

Определение

 

Разность кубов двух выражений есть произведение разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Выведем формулу суммы кубов.

.

Выполняем умножение многочленов:

.

Что и требовалось доказать.

Выражение  называется неполным квадратом разности, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.

 

Задачи на упрощение выражений

 

 

Определение

 

Сумма кубов двух выражений есть произведение суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Пример 1 – упростить выражение:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – разности кубов:

.

Пример 2 – упростить выражение:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – суммы кубов:

.

 

Разложение на множители

 

 

Пример 3 – разложить на множители:

 

.

Несложно заметить формулу разности кубов:

.

Применяем изучаемую формулу:

.

Пример 4 – разложить на множители:

.

Несложно заметить формулу разности кубов:

.

Применяем изучаемую формулу: 

.

 

Решение уравнений

 

 

Пример 5 – решить уравнение:

 

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – разности кубов:

.

Пример 6 – решить уравнение:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – суммы кубов:

z³ = -1³

z = -1

 

Вычислительные задачи

 

 

Пример 7 – вычислить при :

 

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – разности кубов:

.

Подставим значение переменной:

.

Пример 8: докажите, что .

Доказательство.

Применим формулу разности кубов и разложим заданное выражение на множители:

.

Вторую скобку оставим без изменений, выполним вычисления в первой скобке:

.

Получили произведение чисел, содержащее множитель 25, очевидно, что данное выражение кратно 25.

Вывод: на данном уроке мы рассмотрели формулы разности и суммы кубов и их применение для различных типов задач.

 

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

1. Задание 1 – упростить выражения:
   а) ; б) .
2. Задание 2 – разложить на множители:
   a) ; б) .
3. Задание 3 – № 882, 883 – Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Школьный помощник (Источник).
2. Инженерный справочник (Источник).
3. Интернет-портал Grandars.ru (Источник).