Математика

Упрощение выражений

 

Упрощение выражений чем-то похоже на игру в пятнашки: есть исходные данные (выражение, которое нужно упростить, например ) и правила игры (набор стандартных действий, которые приведут к необходимому результату, например порядок выполнения действий: 1) действия в скобках; 2) умножение и деление; 3) сложение и вычитание).

 

В пятнашках есть начальные положения, при которых можно выиграть, получить нужный результат (см. рис. 1), а есть те, при которых нельзя (см. рис. 2). Для игры обычно предлагаются те варианты, в которых выиграть можно.

Рис. 1. Положение в пятнашках, при котором можно выиграть

Рис. 2. Положение в пятнашках, при котором нельзя выиграть

Так и с выражениями – есть те, которые упрощаются, есть те, которые нет. Например:

В задачах и примерах вам будут чаще всего встречаться те выражения, которые можно упростить. Нужно только научиться «правилам игры» – методам, которые используются для упрощения выражения, и потренироваться их применять.

Чем больше вы тренируетесь, тем более хорошим «игроком» становитесь (меньше ошибок при упрощении выражений совершаете, быстрее упрощаете, учитесь упрощать более сложные выражения). Все определяет цель – кто-то хочет стать чемпионом, а кому-то достаточно уметь играть в свое удовольствие. Рассмотрим «правила игры» – методы упрощения.

Число 12 можно разложить на множители:

А вот число 17 – нельзя (если не считать  разложением).

Разложение чисел на множители мы использовали для сокращения обыкновенных дробей, нахождения общего знаменателя, например:

Действия с алгебраическими дробями не отличаются от действий с обыкновенными. Чтобы сократить дробь или привести дроби к общему знаменателю, нужно научиться раскладывать выражения на множители.

С некоторыми выражениями мы умеем это делать:

А можно ли разложить на множители ? Оказывается, нет.

Но способов, с помощью которых можно раскладывать на множители, всего два. Рассмотрим их, чтобы научиться раскладывать многочлены на множители и, соответственно, впоследствии упрощать выражения.

 

Вынесение общего множителя за скобки

 

 

Вспомним распределительный закон:

 

Поскольку это тождество, то по определению равенство выполняется в две стороны: как слева направо, так и наоборот:

В частности, это означает, что:

и т. д.

Такая эквивалентная запись получается с помощью вынесения общего множителя за скобки (в первом примере выносится общий множитель 5, во втором – общий множитель ).

Пример 1.

Вычислить значение выражения:

Решение:

Чтобы не выполнять два умножения, вынесем за скобку общий множитель 17.

Вместо трех действий мы сделаем два:

Ответ: 510.

 

Пример 2.

Упростить выражение:

Решение:

В числителе вынесем за скобки общий множитель 3, в знаменателе – общий множитель 12 и сократим:

Ответ: .

---

 

ОДЗ при преобразованиях выражений

Почему равенство   не является тождеством?

Какие бы значения переменных  мы ни подставляли в левую часть, ее значение будет получаться равным . Кроме одного случая – когда .

Но тождество – это равенство, которое выполняется на всем множестве значений входящих в него переменных (если это множество отдельно не задано).

Если мы не укажем ограничения на множество значений переменных, то тождественно равными выражения  и  считать нельзя, ведь, например, при  значение первого выражения не определено, а значение второго определено и равно .

Поэтому данные выражения тождественно равны только при условии, что .

---

Пример 3.

Вычислить значение выражения , если .

Решение:

Вспомним распределительный закон:

В примере можно взять  в качестве :

Подставим известные значения :

Заметим, что, записав выражение так:  мы упростили выражение, поскольку количество действий, которых нам необходимо совершить, уменьшилось с 5 до 3.

Ответ: 9.

 

Пример 4.

Представить в виде произведения многочленов:

Решение:

Распределительный закон:

В примере можно взять  в качестве :

Ответ: .

 

Пример 5.

Представить в виде произведения многочленов:

Решение:

Распределительный закон:

В примере можно взять  в качестве :

Ответ: .

 

Методы разложения на множители

 

 

Операция, которую мы проделали в рассмотренных примерах, называется разложением на множители. В наших примерах слагаемые имели общий множитель, который мы выносили за скобки, но есть выражения, где не все слагаемые имеют общий множитель, например:

 

У первых двух слагаемых есть общий множитель , у вторых двух – общий множитель . Вынесем их за скобки:

Мы получили выражение, где у слагаемых есть общий множитель, снова вынесем его:

Мы разложили на множители многочлен, выбрав группы слагаемых, у которых был общий множитель, такой метод разложения на множители называют методом группировки.

Всего есть два основных метода разложения на множители:

1. Метод группировки.
2. Использование формул сокращенного умножения (ФСУ).

Пример 6.

Разложить на множители:

Решение:

Ответ:.

Кроме метода группировки, в разложении на множители выражений нам помогут ФСУ,

вспомним их:

Пример 7.

Разложить на множители:

Решение:

Ответ: .

---

 

Использование ФСУ и группировка слагаемых

Мы выделили использование ФСУ в отдельный метод разложения на множители. Однако сами ФСУ получаются методом группировки. Рассмотрим это на примере:

Т. е., обобщив все сказанное, можно сказать, что существует единственный способ разложения многочленов на множители – метод группировки. А вынесение общего множителя и ФСУ можно считать частным случаем этого способа.

Не всегда для разложения выражения на множители можно сразу применить метод группировки. Иногда предварительно одно из слагаемых необходимо эквивалентно представить в виде суммы двух других.

Пример 1.

Разложить многочлен на множители:

Решение:

Ответ: .

 

Пример 2.

Разложить многочлен на множители:

Решение:

Ответ: .

---

 

Разложение на множители с помощью выделения полного квадрата

При изучении ФСУ мы рассматривали метод выделения полного квадрата. Напомним его суть.

Пример 1.

Выделить полный квадрат:

Решение:

Для выделения полного квадрата мы используем ФСУ:

Будем выделять полный квадрат на основе слагаемых, содержащих переменную:

Определим , добавим и вычтем его квадрат (вычитать необходимо для того, чтобы выражение не изменилось):

Чтобы получилось :

Получим:

Ответ: .

С помощью этого метода некоторые квадратные трехчлены можно разложить на множители.

Пример 2.

Разложить на множители:

Решение:

Например, выделим полный квадрат в следующем выражении:

Обратим внимание, что теперь мы можем воспользоваться формулой разности квадратов
:

Ответ: .

 

Пример 3.

Разложить на множители:

Решение:

Выделим полный квадрат:

Воспользуемся формулой разности квадратов :

Ответ: .

---

 

Заключение

На этом уроке мы познакомились с двумя основными методами, которые используются для упрощения выражений: группировка слагаемых и применение ФСУ.

Оба этих метода используются для вынесения за скобки общих множителей. Сама операция вынесения общего множителя является применением распределительного закона слева направо:

Зачем нужно выносить общий множитель за скобки? Как мы увидели на примерах, это позволяет сократить количество операций, которые нужно сделать для вычисления значения различных выражений или, говоря простым языком, упростить выражения.

 

Список литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2013.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ин­тер­нет-пор­тал yaklass.ru (Источник)
2. Ин­тер­нет-пор­тал mathematics.ru (Источник)
3. Ин­тер­нет-пор­тал youclever.org (Источник)

 

Домашнее задание

1. Разложить выражение на множители и вычислить:

2. Вынести общий множитель за скобки:

3. Разложить многочлен на множители, используя ФСУ: