Математика

Решение объемного примера на разложение на множители

 

Рассмотрим пример:

 

Пример 1 – разложить на множители:

;

У всех членов общего множителя нет, значит нужно применить способ группировки. Следует выбрать группы так, чтобы в каждой можно было вынести общий множитель и желательно, чтобы после этого появился общий множитель у всего выражения. Объединим члены по три: первая тройка и вторая:

;

Выносим общие множители в группах:

;

Напомним, что можно проверить, правильно ли множитель вынесен за скобку. Для этого нужно его на эту скобку умножить и проверить, соответствует ли произведение исходному многочлену или группе членов.

Появился общий множитель у всего выражения. Вынесем его:

;

 

Решение уравнений различной сложности

 

 

Способ группировки применяется при решении различных задач, в частности уравнений. Рассмотрим примеры:

 

Пример 2:

;

Поскольку в левой части уравнения стоит многочлен, то нужно разложить его на множители, чтобы решить уравнение. Общего множителя мы не видим, поэтому следует применить способ группировки. Объединим первый член с третьим и второй с четвертым:

;

Вынесем общие множители в группах:

;

Очевидно, что у всего выражения появился общий множитель. Вынесем его за скобки:

;

теперь можем перейти к решению уравнения:

;

Мы уже знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим и решим уравнения:

 или ;

Решим первое уравнение:

,  – уравнение не имеет решений, так как квадрат любого числа это число неотрицательное, то есть большее либо равное нулю;

Решим второе уравнение:

 ,

Ответ: данное уравнение имеет единственное решение .

Пример 3:

;

аналогично предыдущему примеру чтобы решить уравнение нужно разложить многочлен в левой части на множители. Но мы не можем сразу воспользоваться способом группировки, так как задан трехчлен и в нем нельзя выделить группы. Поэтому один из членов нужно представить как два. Для того, чтобы это выполнить, обратим внимание, что , а :

;

Теперь можем выделить группы:

;

Вынесем в группах общие множители:

;

Вынесем появившийся общий множитель:

;

Перейдем к решению уравнения:

;

Аналогично предыдущему примеру составим новые уравнения:

 или

Решим первое уравнение:

,

Решим второе уравнение:

,

Ответ:  или

Напомним, что корнем уравнения называется такое число , при подстановке которого в уравнение оно превращается в верное равенство.

Пример 4:

;

;

 или

, ;

, ;

Ответ:  или  ;

Комментарий: пример решается аналогично предыдущему.

 

Решение задач на геометрическое построение уравнений

 

 

Пример 5 – построить на координатной плоскости (Х0У) график уравнения:

 

;

сначала заданное уравнение нужно решить, для этого воспользуемся методом группировки:

 или

, ;

, ;

Построим координатную плоскость. Напомним, что координатная ось считается построенной, если выбрано начало координат, направление положительного возрастания  и масштаб:

Рис. 1. Графики уравнений y = 1 и x = 2

Заданное уравнение соответствует двум таким уравнениям:  и ;

Рассмотрим первое уравнение:

; про  ничего не известно, значит, он принимает любые значения.

Аналогично второе уравнение, ,  принимает любые значения. Построим две прямые.

Объединение двух прямых и есть исходный график. Любая точка, лежащая на графике, является корнем уравнения.

Напомним, что график – это такое множество точек (х; у), координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Пример 6 – построить на координатной плоскости (Х0У) график уравнения:

;

Поступаем, как и в предыдущем примере.

Сгруппируем первый член со вторым и третий с четвертым:

;

;

Составим и решим уравнения:

 или

, ;

, ;

Выполним построение:

Рис. 2. График функции y = -x

Уравнение  это уравнение прямой, проходящей через точку  на оси и параллельной оси 0Х.

Для построения уравнения  составим таблицу:

х	0	1
у	0	-1

Для построения прямой достаточно двух точек, но для проверки можно взять третью точку и убедиться, что прямая через нее пройдет. Возьмем для этого точку ,  тогда . И прямая действительно проходит через эту точку.

Можем найти точку пересечения двух построенных прямых. Для этого из второго уравнения выразим :

, .

Нам известно, что в точке пересечения . Подставим это значение во второе уравнение и получим значение :

;

Прямые пересекаются в точке (-4: 4)

Отметим, что построенные нами прямые являются геометрическим местом точек, удовлетворяющих заданному уравнению.

 

Выводы по уроку

 

 

Вывод: в данном уроке мы вспомнили один из методов разложения многочлена на множители – способ группировки, и с его помощью решили много сложных задач и уравнений. Кроме того, научились строить уравнение на координатной плоскости.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1. Портал Естественных наук (Источник).  

2. Школьный помощник (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание:

Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 485, ст.98

Задание 2 – решить уравнение: а); б) :

Задание 3 – построить уравнение на координатной плоскости: а) ; б)