Математика

Напоминание и формулировка новых теоретических положений

 

Ранее мы изучали другие функции, например линейную, напомним ее стандартный вид:

 

отсюда очевидное принципиальное отличие – в линейной функции х стоит в первой степени, а в той новой функции, к изучению которой мы приступаем, х стоит во второй степени.

Напомним, что графиком линейной функции является прямая линия, а графиком функции , как мы увидим, является кривая, называемая параболой.

Начнем с того, что выясним, откуда появилась формула . Объяснение таково: если нам задан квадрат со стороной а, то площадь его мы можем вычислить так:

Если мы будем менять длину стороны квадрата, то и его площадь будет изменяться.

Итак, приведена одна из причин, по которой изучается функция

Напомним, что переменная х – это независимая переменная, или аргумент, в физической интерпретации это может быть, например, время. Расстояние это наоборот зависимая переменная, оно зависит от времени. Зависимой переменной или функцией называется переменная у.

 – это закон соответствия, согласно которому каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у.

Любой закон соответствия должен удовлетворять требованию единственности от аргумента к функции. В физической интерпретации это выглядит достаточно понятно на примере зависимости расстояния от времени: в каждый момент времени мы находимся на каком-то конкретном расстоянии от начального пункта, и невозможно одновременно в момент времени t находится и в 10 и в 20 километрах от начала пути.

В то же время каждое значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

 

Построение графика функции y=x^2

 

 

Итак, нам нужно построить график функции , для этого составить таблицу. Потом по графику исследовать функцию и ее свойства. Но уже до построения графика по виду функции мы можем кое-что сказать о ее свойствах: очевидно, что у не может принимать отрицательных значений, так как

 

Итак, составим таблицу:

х	0	1	2	3	-1	-2	-3
у	0	1	4	9	1	4	9

Рис. 1

 

Формулировка свойств функции y=x^2

 

 

По графику несложно отметить следующие свойства:

 

- Ось у – это ось симметрии графика;

- Вершина параболы – точка (0; 0);

- Мы видим, что функция принимает только неотрицательные значения;

- На промежутке, где  функция убывает, а на промежутке, где  функция возрастает;

- Наименьшее значение функция приобретает в вершине, ;

- Наибольшего значения функции не существует;

 

Решение типовых задач

 

 

Пример 1

 

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Решение: 

Поскольку х по условию изменяется на конкретном промежутке, можем сказать о функции, что она возрастает и изменяется на промежутке [1; 9]. Функция имеет на этом промежутке минимальное значение  и максимальное значение

Рис. 2. График функции y = x², x ∈ [1; 3]

Пример 2

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Решение:

х изменяется на промежутке , значит у убывает на промежутке  пока  и возрастает на промежутке  пока .

Итак, пределы изменения х , а пределы изменения у , а, значит, на данном промежутке существует и минимальное значение функции , и     максимальное

Рис. 3. График функции y = x², x ∈ [-3; 2]

 

Подведение итогов урока

 

 

Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента:

 

Рис. 4

На этом рисунке мы видим, что значение функции, равное единице, достигается при двух значениях аргумента:

Вывод: в данном уроке мы познакомились с функцией , построили ее график и сформулировали свойства. Мы также научились решать элементарные типовые задачи, на понимании которых будут базироваться более сложные задания.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).
2. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
3. ЕГЭ по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 486, ст.110;

Задание 2: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 487, ст.110;

Задание 3 – найти максимальное и минимальное значение функции : а) б) в)  г) ;