Математика

Объяснение смысла математической записи y=f(x)

 

Итак, в данном уроке мы должны разобраться, что означает в математике запись . Во-первых, она говорит о том, что задана независимая переменная х, иначе говоря, аргумент. Например, утром ученик вышел из дома в школу, пока он идет, время идет независимо от него, время – пример независимой переменной.

 

Кроме того, данная запись задает зависимую переменную – функцию. Возьмем тот же пример, когда ученик идет из дома в школу, расстояние в этом случае будет зависимой переменной, так как через пять минут он пройдет, например, 200 метров, а через час километр, расстояние зависит от времени.

  – это закон соответствия, по которому каждому значению х – независимой переменной, ставится в соответствие единственное значение у – зависимой переменной. Условие единственности значения функции для каждого значения аргумента объясним все на том же примере. В некоторый момент времени ученик находится на расстоянии 500 метров от дома, и в этот же момент он не может быть еще и на расстоянии километра, то есть в один момент времени он может быть только в одном месте. Итак, реальные процессы таковы, что накладывают на функции упомянутое ограничение

 

Обзор известных функций

 

 

Вспомним известные нам функции:

 

1) , функция равна константе. Для нашего примера это можно описать тем, что ученик находится в школе, то есть время идет, а расстояние от дома не меняется.

2) – прямая пропорциональность. Мы помним, что в зависимости от значения k функция может возрастать или убывать. Вспомним графики первых двух функций, для примера построим графики функций , , :

Рис. 1.

Напомним, что любой график прямой пропорциональности проходит через начало координат, при этом если k положительное, то функция возрастает, а если k отрицательное – функция будет убывать

3)   - линейная функция, она задается двумя параметрами – k и m. Возьмем пример: , построим график, напомним, что для этого достаточно взять две точки – составим таблицу:

х	0	-0,5
у	1	0

,

Рис. 2.

Напомним, что параметр m – это ордината точки пересечения графика с осью у, а параметр k как и в случае прямой пропорциональности отвечает за то, будет ли функция возрастать или убывать.

4)  – график данной функции парабола, напомним ее вид:

Рис. 3.

Отметим, что переменные можно называть как угодно, например вместо  можно написать , от этого вид функциональной зависимости не изменится.

Рис. 4.

Вернемся к нашему примеру, где ученик идет в школу, находится в школе и возвращается домой. Расстояние будем откладывать по оси у, а время по оси х.

На участке 1 показано, как ученик идет в школу, расстояние его от дома увеличивается до конкретной точки – в этот момент он пришел в школу. Далее на участке 2 ученик находится в школе, расстояние его от дома остается неизменным. После этого на участке 3 он возвращается домой, причем скорость его меньше, чем когда он шел в школу, так как значение функции изменяется медленнее. В какой-то момент расстояние становится равным нулю – это означает, что ученик пришел домой.

Данный пример говорит нам о том, что функция может на разных участках быть описана по-разному.

 

Решение примера, в котором сочетаются многие типовые задачи

 

 

Рассмотрим примеры:

 

Пример 1:

;

1) вычислить значение функции при , , , ,

2) построить график функции;

3) прочесть график и определить свойства данной функции.

Начнем с построения графика:

Для первого интервала, где  составим таблицу для нахождения двух точек:

х	-4	-1
у	-2	1

Для второго интервала, где, также составим таблицу:

х	-1	0
у	1	0

Итак, построим график:

Рис. 5.

Теперь вычислим необходимые значения функции: , подставляем значение в функцию , так как  принадлежит интервалу . В эту же функцию подставляем и значение , . Значения  и   подставляем в функцию , так как эти значения х принадлежат интервалу , , ; значение  подставляем в функцию , так как оно входит в интервал , получаем

Нам осталось прочесть график. Итак, если аргумент возрастает , функция возрастает . Когда аргумент возрастает , функция убывает , наконец когда аргумент возрастает  функция остается неизменной и равна четырем. Область определения функции: , то есть данная функция существует только на этом интервале, и если нам нужно было бы вычислить значение в точке , мы не смогли бы этого сделать, так как в этой точке она не существует – не определена. Минимальное значение функции есть, и оно равно -2: ; y=0 при двух значениях аргумента:  и . Функция больше нуля при следующих значениях аргумента: 

 и .

Функция принимает отрицательные значения на следующем отрезке: .

 

Подведение итогов урока

 

 

Вывод: в данном уроке мы объяснили смысл записи  и провели обзор известных нам графиков функций. Мы узнали, что функция может быть задана на разных интервалах по-разному и рассмотрели пример подобного задания, в котором выполнили различные типовые задачи.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Портал Естественных Наук (Источник).

2. Интернет-портал Alexlarin.net  (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 799, ст.167;

Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 806, ст.168;

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 807, ст.168;