Математика

Признаки параллельности двух прямых.

Прямые могут либо иметь одну общую точку, то есть пересекаться, либо не иметь ни одной общей точки, то есть не пересекаться.

Две непересекающиеся прямые на плоскости называются параллельными.

Параллельность прямых можно обозначить с помощью специального значка – $\parallel$.

$a\parallel b$ (прямые а и b параллельны).

Два отрезка параллельны, если они лежат на параллельных прямых.

$a\parallel b,\mathit{а\; AB}\parallel A_1{B}_1$

Как узнать, параллельны прямые или нет? Допустим, в пределах нашего рисунка прямые не пересекаются, но вдруг они пересекутся, если продлить дальше?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим две прямые (a и b), пересеченные третьей (c).

Прямую с называют секущей при двух параллельных прямых а и b. При пересечении двух параллельных прямых секущей получается 8 углов.

$\angle 3\mathit{и}\angle 8$, а также $\angle 4\mathit{и}\angle 5$ называются накрест лежащие.

$\angle 3\mathit{и}\angle 5$, а также $\angle 4\mathit{и}\angle 8$ называются односторонние.

$\angle 1\mathit{и}\angle 8$, $\angle 2\mathit{и}\angle 5,\angle 3\mathit{и}\angle 6$, а также $\angle 4\mathit{и}\angle 7$ называются соответственные.

Если при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано:

$\mathit{a\; и\; b}$ – прямые

с – секущая

$\angle 1=\angle 2$

Доказать: $a\parallel b$

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда секущая пересекает параллельны прямые не под прямым углом. Проведем перпендикуляр ОН к прямой b через середину отрезка АВ. От точки В отложим ВК = АН. Соединим точки К и О.

Рассмотрим $⊿\mathit{АНО}$ и $⊿\mathit{ВКО}$.

1. $\angle 1=\angle 2$ (по условию);
2. ВК = АН (по построению);
3. ВО = АО (по построению);

$⊿\mathit{АНО}$ = $⊿\mathit{ВКО}$ (по первому признаку).

Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle 3=\angle 4$ и $\angle 5=\angle 6$.

Из того, что $\angle 3=\angle 4$ следует, что точки Н, О и К лежат на одной прямой (т.к. точки А, О, В лежат на одной прямой).

А из того, что $\angle 5=\angle 6$ следует, что $\angle 6=90°$. То есть НК⟂а (по построению) и НК⟂b. Из этого следует, что $a\parallel b$.

Теперь, используя первый признак параллельности прямых, докажем еще два.

Второй признак параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано:

$\mathit{a\; и\; b}$ – прямые

с – секущая

$\angle 1=\angle 2$

Доказать: $a\parallel b$

Доказательство:

$\angle 1=\angle 2$ (по условию), $\angle 2=\angle 3$ (как вертикальные), следовательно, $\angle 1=\angle 3$ . Но эти углы – накрест лежащие, следовательно $a\parallel b$ по первому признаку параллельности.

Третий признак параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть $\angle 1\mathit{и}\angle 4$ – односторонние, $\angle 1+\angle 4=180°$ (по условию).

$\angle 3+\angle 4=180°$ (т.к. они смежные).

Отсюда следует, что $\angle 1=\angle 3$. Они являются накрест лежащими, значит $a\parallel b$ по первому признаку параллельности.