Математика

101. Решение задач на построение.

Для построения фигур на бумаге используют чертежные инструменты. Когда в школьных задачах по геометрии просят «построить фигуру» и не уточняют инструменты, имеют в виду только линейку без делений и циркуль. С помощью линейки строят отрезки, а с помощью циркуля – окружности.

Окружность – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром окружности, а заданное расстояние – радиусом окружности. Если на окружности отметить две точки, то они разобьют окружность на две части. Эти части называются дугами окружности.

Используя циркуль, можно построить окружность любого заданного радиуса, с заданным центром.

Задача 1. Дан луч и отрезок. На луче отложить от его начала отрезок, равный данному.

С помощью линейки изобразим отрезок АВ и луч ОС. Далее будем использовать циркуль. За центр окружности возьмем точку О, за радиус – длину отрезка АВ. Полученная окружность пересечет луч в точке D. Отрезок OD – искомый.

Задача 2. Построить биссектрису заданного угла.

Пусть дан угол А, нужно построить биссектрису АЕ. Построение состоит из следующих шагов:

1. Провести окружность с центром А произвольного радиуса. Эта окружность пересечет стороны угла в точках В и С.
2. Построить две окружности одинакового радиуса с центрами в точках В и С. Они пересекутся в точке Е.
3. Построить луч АЕ, который и будет биссектрисой угла.

Чтобы убедиться, что АЕ – биссектриса, нужно доказать, что треугольники АСЕ и АВЕ равны.

Задача 3. Построить середину заданного отрезка.

Пусть дан отрезок АВ, нужно построить его середину – точку М. Используем следующий алгоритм:

1. Построить две окружности одинакового радиуса АВ с центрами в точках А и В. Они пересекутся в точках P и Q.
2. Построить прямую PQ. Она пересечет отрезок АВ в точке М. Точка М – искомая.

Чтобы убедиться, что АМ = ВМ, нужно доказать, что треугольники APM, BPM, AQM, BQM равны.

Заметим, что на полученном чертеже AB⟂PQ. Значит, тот же самый алгоритм можно использовать для построения перпендикуляра.