Математика

Теорема о сумме углов треугольника

 

В этом уроке мы рассмотрим виды треугольников. Рассмотрение видов треугольников базируется на важной теореме о сумме углов треугольника.

 

Теорема 1: Сумма углов треугольника равна .

Дано: ∆АВС.

Доказать: ∠1 + ∠2 + ∠3 =.

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 1. Рисунок к теореме 1

Через точку В проведем прямую а, параллельную стороне АС. Такая прямая существует и является единственной. ∠1 = ∠4 по свойству параллельных прямых и секущей АВ, по этому же свойству ∠3 = ∠5. ∠4 + ∠2 + ∠5 = , а значит, ∠1 + ∠2 + ∠3 =. Теорема доказана.

АВ = АС – боковые стороны. ВС – основание.

 

Теорема о внешнем угле треугольника

 

 

Перед тем как рассмотреть теорему о внешнем угле треугольника, следует сказать о внешнем угле. ∠4 (смежный с ∠3) – внешний угол ∆АВС.

 

Теорема 2: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Дано: ∆АВС.

Доказать: ∠4 =∠1 +∠2.

Доказательство:  Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 2. Рисунок к теореме

2

Значит, ∠4 = ∠1 + ∠2, что и требовалось доказать.

 

Виды треугольников

 

 

Виды треугольников

 

1. Если в треугольнике все углы острые, то такой треугольник называется остроугольным. 

Рис. 3. Остроугольный треугольник

Примеры: а. ∠1 = ∠2 = ∠3 =. Значит, в сумме имеем .

б.  ∠1 =, ∠2 = ∠3 =.

2. Если в треугольнике есть угол, равный , то такой треугольник называется прямоугольным.

∠С =.

Рис. 4. Прямоугольный треугольник

∠А + ∠В + =.

∠А +∠В =–=. Значит, ∠А и ∠В острые. Таким образом, в прямоугольном треугольнике один угол , два остальные угла – острые.

Для сторон прямоугольного треугольника существуют специальные названия. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а другие стороны называются катетами.

3. Если в треугольнике один угол находится в пределах (;), то такой треугольник называется тупоугольным.

Рис. 5. Тупоугольный треугольник

∠А + ∠В =– ∠С. ∠А и ∠В – острые.

Пример 1: Докажите, что в любом треугольнике найдется хотя бы один угол, величина которого не меньше .

Доказательство:Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Докажем методом «от противного». Пусть ∠А <, ∠B <, ∠C <, тогда ∠А + ∠В + ∠С <, это невозможно, поскольку ∠А + ∠В + ∠С =.

           

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Pекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Треугольники (Источник) 
2. Прямая линия,отрезок (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 49. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
2. Докажите, что не может выполняться следующее утверждение: в этом треугольнике наименьший угол равен
3. Найдите углы треугольника, если два из них относятся как 3:5, а третий равен половине их суммы.
4. Каждый из двух внешних углов треугольника равен  Докажите, что данный треугольник равносторонний. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.