Математика

Свойства углов треугольника

 

Треугольник – это центральная фигура геометрии. Он обладает многими удивительными свойствами. Два этих свойства, касающихся углов, мы сейчас повторим.

 

Пусть дан треугольник  с внутренними углами , , .

Теорема утверждает, что сумма внутренних углов треугольника равна  (см. Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме о внутренних углах треугольника

Это теорема о внутренних углах треугольника.

Следующая теорема о внешнем угле треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним (см. Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме о внешнем угле треугольника

Из того, что сумма внутренних углов треугольника 180 градусов, вытекает наличие трех видов треугольников.

 

Виды треугольников

 

 

Первый – это остроугольный треугольник .

 

, ,

Например: (см. Рис. 3).

В сумме углы составляют , каждый из них меньше .

Рис. 3. Остроугольный треугольник

Тупоугольный треугольник (см. Рис. 4)

 – угол  тупой, т. е. лежит в пределах от 90 градусов до 180 градусов.

Например:

Тупым может быть только один угол.

Рис. 4. Тупоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник (см. Рис. 5)

,

Например:

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

Таким образом, мы рассмотрели все виды треугольников.

Теперь рассмотрим некоторые типовые задачи на углы треугольника.

 

Задача 1

 

 

Найдите угол  треугольника , если угол  равен 60 градусов, угол  равен 50 градусов (см. Рис. 6).

 

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

Дано:

, , .

Найти: .

Решение

Ответ: .

Здесь мы воспользовались теоремой о внутренних углах треугольника.

 

Задача 2

 

 

Доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника – острые (см. Рис. 7).

 

Дано: , .

Доказать: , .

Доказательство

Рис.7. Иллюстрация к задаче 2

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (по свойству равнобедренного треугольника): .

Пусть , тогда   . Это противоречит тому, что .

Что и требовалось доказать.

В предыдущих задачах фигурировали только внутренние углы треугольника. В следующей задаче присутствует внешний угол треугольника.

 

Задача 3

 

 

Найдите углы в треугольнике , если , внешний угол при вершине  равен 100 градусам (см. Рис. 8).

 

Дано: , , .

Найти:, , .

Решение

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

Данный треугольник равнобедренный по условию.

Вспомним, что внешний угол  и внутренний угол  – смежные углы и в сумме осоставляют . Один из них дан, значит, можно найти другой, а если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны , а, зная эти два угла, мы можем найти и третий угол.

Ответ: ; .

 

Задача 4

 

 

Найти сумму углов при всех вершинах пятиконечной звезды (см. Рис. 9).

 

Дано:  – звезда.

Найти: .

Решение

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 4

Рассмотрим треугольник . В этом треугольнике угол при вершине  равен , так как угол  в этом треугольнике – внешний для треугольника .

 по той же теореме для треугольника .

При сложении всех трех углов треугольника получим:

Значит искомая сумма равняется .

Ответ: .

Примечание: данная сумма верна для пятиконечной звезды любой формы, с любыми углами.

 

Список литературы

1. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. – 2-е изд. – М.: 2014 – 240 с.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. – 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Школьный помощник» (Источник)

2. Интернет портал «Гипермаркет знаний» (Источник)

3. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если угол при его вершине на  больше угла при основании?

2. Определите величины углов равнобедренного треугольника , если внешний угол угла  при основании  равен .

3. Определите величины углов треугольника , если .