Математика

Повторение теоремы о соотношении сторон и углов треугольника

 

Неравенство треугольника вытекает из важной теоремы, о сторонах и углах треугольника. Вспомним эту теорему.

 

Теорема 1: Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Рис. 1. Рисунок к теореме 1

АВ>АС>ВС,  ∠С>∠В>∠А.

 

Теорема о неравенстве треугольника

 

 

Теорема 2: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

 

Дано: ΔАВС.

Доказать: АВ<АС+СВ.

Рис. 2. Рисунок к теореме 2

Доказательство: Проведём CD=CB, AC+CD=AD. ∠1=∠2. В треугольнике АВD требуется доказать, что АВ<AD.  ∠2=∠1<∠ABD. Пользуясь теоремой о соотношении углов и сторон, АВ <AD=AC+CB, что и требовалось доказать.

Запишем эту теорему для всех сторон треугольника.

Из теоремы о сумме углов треугольника следует теорема о разности сторон треугольника.

 

Теорема о неравенстве треугольника для разности сторон

 

 

Теорема 3: Каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

 

Доказательство:

Рис. 3

По предыдущей теореме:

 либо

.

Теорема доказана.

Из доказанных теорем вытекает важное следствие:

 

Следствие из теорем

 

 

Следствие: Для любых трёх точек А, В, С, не лежащих на одной прямой справедливы неравенства:

 

 

Решение задач

 

 

Задача 1: Существует ли треугольник со сторонами

 

1. 1 м, 2 м, 3 м.

2. 3 м, 4 м, 5 м.

Решение: Используем неравенство треугольников.

1. 3=2+1, 3=3.

Ответ: Такого треугольника не существует.

2.

Ответ: Такой треугольник существует.

На сегодняшнем уроке мы познакомились с неравенством треугольника. Далее перейдём к задачам и прямоугольному треугольнику.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. Издание М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 издание. М.: Просвещение.
3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Словари и энциклопедии на Академике (Источник).
2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
3. Кaknauchit.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. №54. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Точки М и Р лежат по разные стороны от прямой КТ, а точки К и Т – по разные стороны от прямой МР. Докажите, что 2(МР+КТ)>МК+КР+РТ+ТМ.
3. Может ли существовать треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 5 см? 3 см, 5 см, 7 см?
4. Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра.