Математика

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

 

Теорема: В треугольнике

 

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

1. Дано: АВ>АС

Доказать: ∠С>∠В.

Доказательство: Отложим отрезок AD равный отрезку АС и тогда точка D будет лежать между точек А и В. Луч CD рассечёт угол АСВ на два угла, при этом ∠1=∠2.  ΔАСВ состоит из углов ∠1 и ∠3. ∠2 – внешний для треугольника CDB, значит он больше угла В.

Рис. 1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

AD=AC<AB

∠1=∠2<∠ACB

∠2=∠B+∠3>∠B

∠1>∠B

∠ACB>∠B, что и требовалось доказать.

2. Дано: ∠С>∠В

Доказать: ∠АВ>∠AC

Доказательство: Докажем методом от противного.

Рис. 2. Обратная теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника , но ∠С>∠В по условию, следовательно, остается только случай, если АВ>АС, что и требовалось доказать.

Ещё раз сформулируем теорему и распространим её на все углы треугольника.

Теорема: В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Рис. 3. Чертёж к теореме

Если АВ>AC>BC, то ∠C>∠B>∠A.

Если ∠C>∠B>∠A, то АВ>AC>BC.

 

Следствие 1 из теоремы

 

 

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

 

Доказательство:

Рис. 4. Чертёж к следствию 1

∠А+∠В+90=180, ∠А+∠В=90=∠С. Отсюда следует, что ∠А<90, ∠В<90. Значит, СВ<АВ, СА<АВ. Гипотенуза АВ больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано.

 

Следствие 2 из теоремы

 

 

Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

 

Дано: ∠В=∠С

Доказать: АС=АВ

Доказательство: Докажем методом от противного.

 

Рис. 5. Чертёж к следствию 2

АВ>АС ∠С>∠В, то есть АВ=АС. Следствие доказано.

Обсудим следствие 2. Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. Из этого вытекает его свойство: углы при основании равны. А теперь у нас есть признак, что если углы при какой-либо стороне равны, то треугольник равнобедренный. Мы имеем признак равнобедренного треугольника.

 

Решение задач

 

 

Пример 1: Сравните углы треугольника и выясните, может ли быть угол А тупым, если АВ=АС<ВС.

 

 

Рис. 6. Чертёж к примеру 1

АВ=АС  ∠С=∠В. АС<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В  ∠А=180-(∠В+∠С).

Пример: ∠В=∠С=10, тогда ∠А=180-(10+10)=160.

Ответ: 1) ∠В=∠С<∠А 2) ∠А может быть тупым.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели теорему об отношении между сторонами и углами треугольника. На следующем уроке мы рассмотрим тему о неравенстве треугольников.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. Издание М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 издание. М.: Просвещение.
3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
2. Kaknauchit.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. №50. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Отрезок АК – медиана треугольника АВС с прямым углом С. Докажите, что ∠ВАК<∠АВС<∠АКС<∠АСВ.
3. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
4. Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен a.