Математика

Тема 14: Соотношения между сторонами и углами треугольников. Профильный уровень

Урок 9: Замечательные линии и точки треугольников

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Площадь прямоугольного треугольника

Одной из важнейших характеристик геометрической фигуры на плоскости является ее площадь. Мы уже выводили формулу площади треугольника, используя формулу площади прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами и , которые образуют прямой угол (см. рис. 1). Эти стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами, а третья сторона – гипотенузой.

Рис. 1. Прямоугольный треугольник с катетами и

Теперь рассмотрим прямоугольник со сторонами и . Проведем в нем диагональ (см. рис. 2).

Рис. 2. Прямоугольник со сторонами и и проведенной диагональю

Несложно доказать, используя признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), что получились два равных прямоугольных треугольника. У равных треугольников равные площади, получаем:

Откуда:

Итак, мы получили, что площадь любого прямоугольного треугольника равна полупроизведению длин его катетов.

Площадь произвольного треугольника

Воспользуемся этой формулой для того, чтобы получить формулу площади произвольного треугольника. Опустим перпендикуляр из вершины треугольника на сторону (см. рис. 3).

Рис. 3. Произвольный треугольник с опущенным на сторону перпендикуляром

Наш треугольник разбился на два прямоугольных треугольника и , и его площадь равна:

Используем распределительный закон справа налево и вынесем общий множитель за скобки:

Итак, мы получили, что площадь произвольного треугольника можно вычислить как полупроизведение длины перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону треугольника, и длины этой стороны.

Но такая формулировка слишком громоздкая, а формула используется достаточно часто, поэтому для перпендикуляра придумали специальное название – высота треугольника .

Сторона, к которой проведена высота, называется основанием треугольника . Точка, в которую опускается перпендикуляр, называется основанием высоты . Тогда площадь произвольного треугольника – это полупроизведение высоты на основание:

Ортоцентр треугольника

Поскольку вершин у треугольника три, то и высот можно провести три (каждая из сторон может выступать в качестве основания) (см. рис. 4).

Рис. 4. Три высоты, проведенные в треугольнике

Поскольку в доказательстве формулы для площади мы не накладывали никаких условий на выбор основания и высоты, то площадь треугольника не будет зависеть от того, какую пару «высота – основание» выбрать.

Почему такое название – высота? Представьте себе большую треугольную конструкцию, одна сторона которой лежит на земле. Какова ее высота? Именно та самая, что в определении. А если конструкцию повернуть на другую сторону? Соответственно – другая высота треугольника (см. рис. 5).

Рис. 5. Высоты лежащей и перевернутой конструкций

Если вернуться к формуле для площади прямоугольного треугольника, которую мы получили в самом начале, то можно заметить, что она очень похожа на формулу площади произвольного треугольника. Это не случайность.

Рассмотрим прямоугольный треугольник (один угол прямой). Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, также лежит внутри треугольника (см. рис. 6).

Рис. 6. В прямоугольном треугольнике проведена высота к гипотенузе

Но как будут выглядеть высоты, опущенные из вершин и ? По определению: высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противолежащую сторону. Но – это и есть перпендикуляр к , аналогично: – перпендикуляр к (см. рис. 7).

Рис. 7. В прямоугольном треугольнике две высоты равны катетам

Получаем, что в прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами. И формула площади прямоугольного треугольника – частный случай формулы площади произвольного треугольника.

В остроугольном треугольнике (все углы меньше прямого): все три высоты будут лежать внутри треугольника (см. рис. 8).

Рис. 8. В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника

В тупоугольном треугольнике две высоты, проведенные из вершин острых углов, будут лежать вне треугольника (см. рис. 9).

Рис. 9. В тупоугольном треугольнике две высоты лежат вне треугольника

Обратите внимание, что во всех рассмотренных случаях высоты (или их продолжения) пересекались в одной точке. Это не случайность.

В треугольнике все высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (от греч. orthos – «прямой»: высоты образуют прямые углы со сторонами, на которые они опущены). Этот факт мы пока не можем доказать, но вернемся к его доказательству позже.

Из сказанного выше можно сделать вывод, что в остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника, в прямоугольном треугольнике – совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном треугольнике – лежит вне треугольника (см. рис. 10).

Рис. 10. Расположение ортоцентра в остроугольном, прямоугольном, тупоугольном треугольниках

Медиана треугольника

Итак, площадь треугольника можно найти как полупроизведение высоты на основание, где – высота треугольника, – основание:

А как разделить участок треугольной формы на два участка равной площади? Предположим, нам это удалось (см. рис. 11).

Рис. 11. Треугольник разделен на два участка равной площади

У треугольников и есть общая высота: (мы знаем, что из точки к прямой можно провести только один перпендикуляр) (см. рис. 12).

Рис. 12. – общая высота треугольников и

Получаем, что:

Мы разбиваем треугольник на два треугольника равной площади, поэтому:

Получаем, что точка должна быть серединой стороны .

Линия называется медианой (от лат. mediana – «средняя») треугольника – это линия, соединяющая вершину с серединой противоположной стороны треугольника.

Как мы только что доказали, медиана делит треугольник на два треугольника с равной площадью (мы уже знаем, что такие треугольники называются равновеликими).

Как и высот, медиан в треугольнике можно провести три (см. рис. 13). В отличие от высот, независимо от вида треугольника, медианы всегда лежат внутри треугольника.

Рис. 13. Три медианы треугольника

Медианы, как и высоты, пересекаются в одной точке (этот факт мы тоже докажем позже). Эта точка называется центром тяжести треугольника (или центроидом).

Если вырезать из бумаги треугольник и положить его на иголку так, чтобы ее острие было в точке пересечения медиан (см. рис. 14), то треугольник будет оставаться в равновесии.

Рис. 14. Треугольник находится в равновесии, если острие иголки расположить в центре тяжести

Если сдвинуть иголку в любую другую точку, то треугольник упадет. Можете провести этот эксперимент сами и убедиться в истинности данного утверждения.

Почему центр тяжести треугольника находится в точке пересечения медиан

Почему именно точка пересечения медиан обладает таким свойством? Мы рассматриваем однородный треугольник, который состоит из одного вещества или сплава. У всех его частей одинаковая плотность, поэтому масса любой части будет тем больше, чем больше ее объем (вспомним из курса физики: , где – масса, – объем).

Но в планиметрии у треугольника толщины нет, поэтому масса будет тем больше, чем больше площадь соответствующей части (на практике, например в вырезанном из бумаги треугольнике, толщина, хоть и очень маленькая, но есть; но поскольку эта толщина постоянна, то масса любой части треугольника все равно будет зависеть от площади этой части).

Мы уже говорили о том, что медиана делит треугольник на две площади равной части. Значит, логично предположить, что центр тяжести лежит где-то на медиане (иначе какая-то из частей треугольника перевешивала бы). Но медиан в треугольнике три, значит, центр тяжести должен лежать на каждой из них, т. е. в точке их пересечения (см. рис. 15).

Рис. 15. Центр тяжести лежит в точке пересечения трех медиан треугольника

Конечно, это не строгое доказательство, а соображение. Но оно полезно для понимания того, почему точка пересечения медиан – это и есть центр тяжести треугольника.

Биссектриса треугольника

Мы поговорили о медиане – линии, которая делит сторону на равные части. Логично рассмотреть линию, которая делит на равные части угол треугольника (см. рис. 16).

Такая линия, которая делит угол на два равных угла, называется биссектрисой (от греч. bi – «двойное», section – «разрезание»).

Рис. 16. Биссектриса треугольника делит на равные углы и

По аналогии с уже рассмотренными линиями в треугольнике можно провести три биссектрисы, т. к. в треугольнике три угла. Как и медианы, все биссектрисы лежат внутри треугольника. И они также пересекаются в одной точке, которая лежит внутри треугольника и называется инцентром (см. рис. 17).

Рис. 17. Инцентр треугольника

Название «инцентр» связано с особенным свойством этой точки, о котором мы сейчас поговорим. Рассмотрим и его биссектрису . Опустим из точки перпендикуляры и на стороны угла (см. рис. 18).

Рис. 18. – биссектриса , ,

Треугольники и равны по второму признаку равенства треугольников: они прямоугольные , у них равны острые углы и общая гипотенуза . Значит, равны и их катеты, в частности . Т. е. любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла (см. рис. 19).

Рис. 19. Любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла

Несложно доказать, что любая точка не на биссектрисе не будет равноудалена от сторон угла.

Тогда можно дать эквивалентное определение биссектрисы – это геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от сторон угла.

Доказательство

Как доказать, что любая точка, которая не лежит на биссектрисе, не равноудалена от сторон угла? Воспользуемся методом от противного.

Пусть точка не лежит на биссектрисе , но при этом она равноудалена от сторон этого угла: длины перпендикуляров и на стороны равны (см. рис. 20).

Рис. 20. – биссектриса , , , ,

Соединим точку с точкой и рассмотрим треугольники и (см. рис. 21). В них: , общая, .

Рис. 21. Рассматриваемые треугольники и

Формально у нас нет такого признака равенства (по двум сторонам и углу не между ними). Но на следующем уроке мы докажем, что для равенства прямоугольных треугольников достаточно равенства любых двух сторон (в частности, гипотенузы и любого из катетов). Тогда мы получим, что треугольники и равны, но тогда равны , т. е. точка лежит на биссектрисе. Получили противоречие. Значит, исходное предположение неверно, и если точка не лежит на биссектрисе, то она не будет равноудалена от сторон угла.

Вписанная окружность треугольника

Предположим, что нам надо найти точку, равноудаленную от двух дорог (например, чтобы разместить там станцию отдыха или техобслуживания). Если эти две дороги параллельны, то задача решается легко. Все такие точки будут лежать на параллельной прямой, равноудаленной от двух данных (см. рис. 22).

Рис. 22. Точки, равноудаленные от двух параллельных дорог, лежат на параллельной прямой, равноудаленной от двух данных

Но что делать, если прямые пересекаются? Рассмотрим один из углов, образованный двумя пересекающимися прямыми. Как мы только что доказали, все интересующие нас точки лежат на биссектрисе этого угла (см. рис. 23).

Рис. 23. Точки, равноудаленные от двух пересекающихся дорог, лежат на биссектрисе угла, образованного этими прямыми

Вернемся к треугольнику: биссектрисы всех трех его углов пересекаются в одной точке (см. рис. 24).

Рис. 24. – биссектрисы , – инцентр треугольника

Поскольку точка лежит на биссектрисе , то она равноудалена от сторон и . Но она также лежит на биссектрисе угла – равноудалена от и , и на биссектрисе – равноудалена от и . Т. e. точка равноудалена ото всех трех сторон треугольника (см. рис. 25):

Рис. 25. Точка равноудалена от всех трех сторон треугольника

Если провести окружность с центром в точке и радиусом, который равен расстоянию от точки до сторон треугольника, то получится вписанная окружность (см. рис. 26):

Рис. 26. Вписанная окружность с центром в точке и радиусом

Окружность вписана в треугольник, все три его стороны не пересекают окружность, а как бы касаются ее в одной точке (они так и называются – касательными к окружности, но о них и об их свойствах подробнее мы поговорим позже).

Для нас важно запомнить, что окружность, обладающая таким свойством, у любого треугольника ровно одна и ее центр всегда лежит в точке пересечения биссектрис – инцентре.

Почему вписанная окружность касается сторон треугольника

Прямая и окружность на плоскости могут располагаться тремя способами: не иметь общих точек, иметь одну общую точку (касаться) и иметь две общие точки (пересекаться) (см. рис. 27).

Рис. 27. Взаимные расположения прямой и окружности

Стороны треугольники будут касаться вписанной окружности (см. рис. 28). Почему именно так?

Рис. 28. Стороны треугольники касаются вписанной окружности

Вспомним определение окружности: множество точек плоскости, расстояние от которых до данной точки одинаково. Пусть это расстояние (радиус окружности) равно (см. рис. 29).

Рис. 29. Окружность с радиусом

Тогда любая точка, которая лежит внутри окружности, удалена от центра на расстояние, меньшее , а любая точка вне окружности – на расстояние, большее (см. рис. 30). Верно и обратное утверждение: если расстояние от точки до центра окружности больше , она лежит вне окружности; меньше – внутри нее.

Рис. 30. Любая точка, которая лежит внутри окружности, удалена от центра на расстояние, меньшее , а любая точка вне окружности – на расстояние, большее .

Рассмотрим треугольник и вписанную окружность с центром в точке . Пусть – расстояние от точки до стороны , т. е. радиус вписанной окружности (см. рис. 31).

Рис. 31. Вписанная в треугольник окружность; – расстояние от точки до стороны :

Мы знаем, что длина перпендикуляра – кратчайшее расстояние от точки до прямой и что длина любой наклонной больше длины перпендикуляра. Тогда для любой точки стороны : , и (по свойству окружности, которое мы обсуждали выше) она будет лежать вне окружности (см. рис. 32).

Рис. 32. Для любой точки : точка лежит вне окружности радиуса

Таким образом, все точки стороны , кроме точки , будут лежать вне вписанной окружности. Т. е. у окружности и прямой ровно одна общая точка – точка . Поэтому сторона касается вписанной окружности. Аналогичное рассуждение можно провести для оставшихся двух сторон треугольника.

Серединный перпендикуляр и описанная окружность треугольника

Рассмотрим практическую задачу. Пусть у нас есть три поселка . И нужно разместить станцию скорой помощи так, чтобы она могла обслуживать все три поселка (см. рис. 33). Понятно, что станция должна быть расположена так, чтобы расстояние от нее до каждого из трех поселков было одинаковым.

Рис. 33. Необходимо разместить станцию скорой помощи так, чтобы она могла обслуживать все три поселка

Сначала решим более простую задачу. Пусть поселков всего два – и (отрезок ). Где должна быть расположена станция в этом случае?

Рассмотрим прямую, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Эта линия называется серединным перпендикуляром (см. рис. 34).

Рис. 34. Серединный перпендикуляр к отрезку

Рассмотрим любую точку , которая принадлежит серединному перпендикуляру . Треугольники и равны по первому признаку равенства треугольников (два катета и угол между ними): , т. к. – середина , – общая, . Значит, (см. рис. 35).

Рис. 35. Равные треугольники и

Несложно доказать, что любая точка, например , которая не лежит на серединном перпендикуляре, не будет удовлетворять этому свойству, т. е. (см. рис. 36).

Рис. 36. Точка , – серединный перпендикуляр:

Доказательство

Как доказать, что любая точка, которая не лежит на серединном перпендикуляре, не равноудалена от концов отрезка? Снова воспользуемся методом от противного.

Пусть точка не лежит на серединном перпендикуляре к отрезку , но при этом она равноудалена от концов отрезка: (см. рис. 37).

Рис. 37. Точка – серединный перпендикуляр к ,

Соединим точку с серединой отрезка – точкой . Рассмотрим треугольники и (см. рис. 38).

Рис. 38. Рассматриваемые треугольники и

В них: (по нашему предположению), , т. к. – середина отрезка , – общая. По третьему признаку треугольника (три стороны) треугольники и равны.

Но тогда : они смежные (т.е. образуют развернутый угол и их сумма равна ). Значит, . Но тогда прямая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину. Значит, – серединный перпендикуляр к отрезку .

Получаем противоречие (точка не должна лежать на серединном перпендикуляре). Значит, исходное предположение неверно, и если точка не лежит на серединном перпендикуляре, то она не будет равноудалена от концов отрезка.

Сформулируем эквивалентное определение серединного перпендикуляра – это геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от концов отрезка.

Понятно, что станция скорой помощи должна располагаться на серединном перпендикуляре к отрезку (в идеале – в точке , середине отрезка, т. к. в этом случае расстояние от нее до точек и будет наименьшим).

Описанная окружность треугольника

Вернемся теперь к задаче про три поселка . Если интересующая нас точка , равноудаленная от всех трех вершин, существует, то она должна лежать на серединном перпендикуляре к , т. к. равноудалена от и . Построим – серединный перпендикуляр к стороне (если , то ).

Аналогично построим серединный перпендикуляр к стороне (если , то ) и серединный перпендикуляр к стороне (если , то ). Т. е. точка лежит на пересечении всех трех серединных перпендикуляров треугольника (см. рис. 39).

Рис. 39. Точка лежит на пересечении всех трех серединных перпендикуляров треугольника

Оказывается, в любом треугольнике серединные перпендикуляры (как и высоты, медианы, биссектрисы) пересекаются в одной точке (т. е. задача про три поселка и станцию скорой помощи всегда имеет решение). Обычно эту точку обозначают буквой (от англ. outcentr).

Это название неслучайно и также связано с особенностью этой точки. Раз она равноудалена от всех трех вершин треугольника, то можно провести окружность с центром в этой точке и радиусом, равным расстоянию от этой точки до вершин (см. рис. 40). Такая окружность называется описанной (она описывает треугольник). У нее только три общие точки с треугольником – это его вершины.

Рис. 40. Описанная окружность треугольника

Как и ортоцентр, точка может лежать как внутри треугольника (для остроугольных треугольников), так и на одной из сторон (прямоугольный треугольник) или вне треугольника (тупоугольный треугольник) (см. рис. 41).

Рис. 41. Возможные расположения центров описанных окружностей

Всегда ли можно провести вписанную и описанную окружности

Мы уже говорили, что треугольник обладает рядом уникальных для многоугольника свойств – например, это наименьшая возможная замкнутая ломаная (из двух звеньев составить нельзя, из трех – можно).

Хотя мы и не доказали пока строго эти факты, но упомянули, что в любой треугольник можно вписать окружность, потому что три биссектрисы любого треугольника всегда пересекаются в одной точке (см. рис. 42).

Рис. 42. В любой треугольник всегда можно вписать окружность

И вокруг любого треугольника всегда можно описать окружность, потому что три серединных перпендикуляра любого треугольника всегда пересекаются в одной точке (см. рис. 43).

Рис. 43. Вокруг любого треугольника всегда можно описать окружность

Оказывается, это свойство также делает треугольник уникальным многоугольником. Действительно, даже в прямоугольник не всегда удастся вписать окружность (только если это не квадрат) (см. рис. 44). Аналогично вокруг ромба не всегда удастся описать окружность (опять же, если это не квадрат).

Рис. 44. В прямоугольник не всегда удастся вписать окружность (только если это не квадрат)

Про другие многоугольники (пятиугольники, шестиугольники и т. д.) и говорить не приходится. Для того чтобы в них можно было вписать или описать окружность, они должны удовлетворять определенным требованиям.

Замечательные линии и точки треугольника

Ранее мы выделили четыре важные линии в треугольнике:

высота – перпендикуляр, опущенный из вершины на противолежащую сторону;
медиана – линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противолежащей стороны;
биссектриса – линия, которая делит угол пополам;
серединный перпендикуляр – перпендикуляр к стороне, проведенный через ее середину.

Конечно, можно придумать и вывести свойства для многих линий в треугольнике (например, линия, которая делит угол в отношении к ). Но рассмотренные нами линии наиболее часто встречаются при решении различных практических задач (некоторые из них мы сегодня рассмотрели), поэтому им будет уделяться внимание на уроках планиметрии. Их даже называют замечательные линии треугольника. А точки, в которых эти линии пересекаются – ортоцентр, центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, – называются замечательными точками треугольника.

Часто ли три прямые пересекаются в одной точке

Мы говорили, что если бросить на плоскость наугад три прямых, то получится треугольник (см. рис. 45) (все остальные случаи настолько же вероятны, насколько и выпадение монеты на ребро).

Рис. 45. Если бросить на плоскость наугад три прямых, то получится треугольник

Пересечение трех прямых в одной точке – это предельный случай (см. рис. 46). Как раз такие случаи часто и представляют интерес (вспомните, например, параллельные или перпендикулярные прямые).

Рис. 46. Пересечение трех прямых в одной точке

Может показаться странным, что это очень редкий случай, но мы рассмотрели сразу четыре вида линий в треугольнике, которые обладают таким свойством. Это не должно удивлять, поскольку мы рассматривали не произвольные линии, а особые, обладающие определенными уникальными свойствами. Именно потому, что они обладают целым набором таких свойств (в частности, пересечение в одной точке), мы их отдельно изучаем.

Будьте внимательнее при решении задач – даже если по рисунку видно, что три произвольные прямые пересекаются в одной точке, это еще не дает нам право утверждать, что так и будет. Нужно доказать это (для высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров мы это сделаем позже) с использованием уже известных теорем. То же самое касается трех точек, которые могут лежать на одной прямой.

Заключение

В дальнейшем мы еще не раз вернемся к различным свойствам этих линий и точек, поговорим о том, в каких треугольниках некоторые из них могут совпадать друг с другом, и т. д.

Список литературы

Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В. / Под ред. Садовничего В. А. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
Интернет-портал «helpiks.org» (Источник)

Домашнее задание

В равнобедренном треугольнике с основанием провели биссектрису . Найти градусную меру , если .
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника , делит в отношении и равна половине гипотенузы. Найти градусные меры .
Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки см и см. Найти площадь треугольника , если площадь треугольника равна .

Урок 8

Вернуться к теме Урок 10

Видеоурок: Замечательные линии и точки треугольников по предмету Геометрия за 7 класс.