Математика

Тема 14: Соотношения между сторонами и углами треугольников. Профильный уровень

Урок 10: Построение с помощью циркуля и линейки

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Инструменты для решения задач на построение

Для решения разных практических задач люди придумали множество инструментов.

Чтобы измерить длину отрезка или нарисовать отрезок заданной длины, мы используем линейку. Для решения аналогичной задачи для углов есть транспортир.

Доказывая теоремы и решая задачи, мы до сих пор не обращали внимания на такие вещи, как: «проведем (построим) медиану треугольника…».

Медиана – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Где вершина, понятно. А где середина противоположной стороны? Если у нас есть под рукой линейка, то решить эту задачу точно не составит труда: измерили длину стороны, разделили на 2, нашли середину. С транспортиром таким же способом несложно построить биссектрису угла.
Но что, если инструментов под рукой нет? Скажем, есть только веревка. Что мы можем сделать с ее помощью? Провести линию (если натянуть, то прямую) и отмерить с ее помощью отрезок, равный данному, можем даже нарисовать окружность (см. рис. 1). Эти операции вместо веревки мы могли бы делать с помощью линейки (без делений) и циркуля.

Рис. 1. С помощью веревки можно нарисовать окружность

В геометрии говорят о задачах на построение с помощью циркуля и линейки. Есть задачи, которые можно решить с этими двумя инструментами, а есть те, которые нельзя. Об этом мы и поговорим на сегодняшнем уроке.

Но прежде попробуем ответить на вопрос: почему именно циркуль и линейка без делений? Почему нельзя было выбрать линейку с делениями, транспортир или какие-то другие инструменты? И зачем вообще нужно уметь решать такие задачи (можем открыть страшную тайну: даже студенты математических факультетов и профессиональные математики не изучают и не решают такие задачи по окончании школы).

Одно соображение мы уже озвучили: все, что можно сделать с циркулем и линейкой (по умолчанию в этом уроке мы будем подразумевать, что имеется в виду линейка без делений), можно сделать и с помощью обычной веревки. И в каких-то ситуациях (например, разметить участок) эти умения могут пригодиться.

Но более важный аргумент – это пример задач, которые решаются с использованием минимального возможного ресурса. В жизни мы часто сталкиваемся с такими задачами: построить двигатель, чтобы за 100 литров бензина проехать максимальное расстояние, или потратить наименьшее возможное время на выполнение домашнего задания, но получить при этом за него не меньше 4, и т. д. Т. е. мы часто решаем задачи на оптимизацию в условиях ограниченного ресурса. В задачах на построение ограничены инструменты, которыми мы можем пользоваться.

Зачем учиться решать задачи на построение?

Некоторым могут показаться неубедительными приведенные аргументы. В необходимости изучения этой темы действительно есть большие сомнения. Но все же приведем еще некоторые соображения, которые могут помочь ответить на сформулированные вопросы.

Математика работает с абсолютно точными моделями (идеальной окружности в жизни не существует, но математика занимается изучением свойств именно такой окружности, чтобы можно было применить их для описания реально существующих окружностей, близких к идеальной).

Любое измерение (с помощью линейки, транспортира и другого прибора) будет содержать неточность (мы округляем с точностью, которая определяется целью измерения). Поэтому с точки зрения математики решение задачи – разделить отрезок на две части, измерив его линейкой, не является корректным.

В математике отрезок длиной 1 должен делиться на два отрезка длиной по 0,5. Но если мы начнем измерять длину этого отрезка с помощью линейки, она не может в точности равняться 1. А длины половин будут отличаться от 0,5. Поэтому для того, чтобы работать с идеальными абстрактными объектами, нужно использовать абстрактные идеальные инструменты, которыми являются линейка без делений и циркуль.

Но это объяснение того, почему задачи на построение изучаются в математике. А вот зачем они нужны школьникам? Кажется, что самый честный ответ – для тренировки. По большому счету, все такие задачи имеют эквивалентную формулировку: есть две операции; как с их помощью из заданного объекта получить требуемый объект ?

Для некоторых людей решение таких задач представляется увлекательным (Гаусс так гордился тем, что смог построить правильный 17-угольник с помощью циркуля и линейки, что завещал выгравировать его на своем памятнике, хотя, пожалуй, это наименее полезное его математическое открытие с практической точки зрения). Но это уже не совсем математика, а, скорее, интеллектуальная игра. Такая же, как составление слов из наборов букв, решение кроссвордов и т. д.

Поэтому данный урок будет полезен для тех, кто получает удовольствие от решения математических задач, а остальным стоит просто ознакомиться с идеей и принципом решения задач на построение, чтобы иметь общее представление о таком математическом инструменте.

Функции циркуля и линейки

Итак, в геометрии классическими инструментами для построения считаются циркуль и линейка. Линейка имеет бесконечную длину. Это значит, что если для решения некоторой задачи нам не хватает длины линейки, у нас есть линейка длиннее, которой будет достаточно. Т. е. длина линейки никогда не окажется для нас проблемой.

Точно так же проблемой не будет расстояние между ножками циркуля – их мы можем раздвинуть на любое расстояние (не хватило – берем циркуль побольше). То же самое – бумага. Сами можете объяснить, что значит бесконечный лист бумаги, бесконечная плоскость.

Функции циркуля

Мы можем измерить им любой данный отрезок и отложить такой же от точки на прямой в любую сторону, полученный отрезок будет равным первому (см. рис. 2).
Мы можем провести окружность с центром в любой данной точке и радиусом, равным любому данному отрезку (см. рис. 3).

Рис. 2. При помощи циркуля можно измерить любой данный отрезок и отложить такой же от точки на прямой в любую сторону

Рис. 3. При помощи циркуля можно провести окружность с центром в любой данной точке и радиусом, равным любому данному отрезку

Функция линейки: мы прикладываем линейку к двум данным точкам и проводим прямую, которая через них проходит. Также мы можем провести отрезок или луч. Напомним, что в данном случае речь идет о линейке без отметок (см. рис. 4).

Рис. 4. При помощи линейки можно провести прямую, проходящую через две данные точки

Построение медианы (деление отрезка пополам)

Базовые построения, которые не вызывают затруднений, но нужны постоянно:

Провести прямую через две данные точки.
Провести окружность данного радиуса с центром в данной точке.
Отложить на прямой от данной точки отрезок, равный данному.

Переходим к более интересным построениям. Уже упомянутая сегодня задача – нахождение середины отрезка. Или, что то же самое, деление отрезка пополам.

Итак, пусть дан отрезок . Нам нужно получить точку, которая является его серединой (см. рис. 5). Точку в задачах на построение мы обычно будем получать как пересечение прямых, окружностей или прямой с окружностью.

Рис. 5. Точка, которая является серединой отрезка

Задача 1. Построить медиану (найти середину отрезка).

Решение

Предположим, что мы хотим найти точку (середину ) как пересечение двух прямых и (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

Мы знаем, что при пересечении двух прямых образуются две пары углов. Но у нас нет никаких дополнительных условий – только отрезок, у которого мы ищем середину. Поэтому будет странно ожидать, что прямая будет наклонена влево или вправо (см. рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 1

Рассмотрим предельный случай, когда прямая перпендикулярна отрезку (см. рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 1

Тогда мы знаем, что – это серединный перпендикуляр к отрезку . И он обладает важным свойством: все его точки равноудалены от концов отрезка (см. рис. 9). Этот факт мы и будет использовать при построении.

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 1

Чтобы построить прямую, нужно найти две ее точки (можно больше, меньше – нельзя). А любая точка серединного перпендикуляра , как мы только что выяснили, равноудалена от и . Построим две такие равноудаленные точки (см. рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 1

Проведем две окружности одного радиуса с центрами в точках и . Радиусы надо взять достаточно большие, чтобы окружности пересеклись (см. рис. 11) (несложно получить, что радиус должен быть больше половины длины отрезка; чтобы это условие было точно выполнено, можно рисовать окружности с радиусом, который равен длине отрезка).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 1

Точки пересечения принадлежит обеим окружностям, т. е. удалены от и на расстояния, равные радиусам окружностей. Но их радиусы равны.

Значит, точки и равноудалены от и (см. рис. 12). Значит, они принадлежат серединному перпендикуляру. Осталось их соединить и найти точку пересечения и . Это точка – искомая (см. рис. 13).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 1

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 1

Задача решена.

Перпендикуляр к прямой в данной точке

Задача 2. Провести перпендикуляр к прямой в данной точке

Решение

Пусть на прямой отмечена точка (см. рис. 14). Нужно провести перпендикуляр в этой точке к данной прямой. Или, как говорят, «восстановить» перпендикуляр к прямой в данной точке.

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 2

Сведем задачу к предыдущей – мы уже умеем строить перпендикуляр к середине отрезка. Значит, нужно построить на этой прямой отрезок, для которого точка будет серединой.

Проводим окружность произвольного радиуса с центром в . Получим две точки пересечения окружности и прямой – и (см. рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 2

Теперь задача свелась к эквивалентной – построить серединный перпендикуляр к отрезку . Эту задачу мы уже умеем решать, значит, исходная задача решена.

Задача решена.

Построение высоты

Итак, мы умеем строить медиану (находить середину отрезка) и восстанавливать перпендикуляр к прямой в данной точке. А как построить высоту или, что то же самое, опустить перпендикуляр на прямую из точки, которая ей не принадлежит?

Задача 3. Построить высоту(опустить перпендикуляр на прямую из точки, которая ей не принадлежит).

Решение

Снова воспользуемся известным нам инструментом – построением серединного перпендикуляра. Итак, пусть есть прямая и точка , не лежащая на ней (см. рис. 16). Надо из точки провести перпендикуляр к прямой .

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 3

Проведем окружность с центром в точке и радиусом, достаточным, чтобы эта окружность пересекла прямую . Целиком окружность обычно в таких случаях не чертят, а только ее часть, дугу, чтобы получить точки пересечения. Получили точки и на прямой (см. рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 3

Зачем они нам? Очевидно, равноудалена от обеих этих точек (расстояние равно радиусу окружности) (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 3

Но значит, лежит на серединном перпендикуляре отрезка . И снова получили эквивалентную формулировку задачи: построить серединный перпендикуляр к отрезку (он пройдет через точку , а т. к. из точки можно провести только один перпендикуляр к прямой, то он и будет искомым). А строить его мы умеем.

Можно использовать то, что точка лежит на серединном перпендикуляре, и строить окружности с тем же самым радиусом (см. рис. 19). А можно строить две окружности другого радиуса, не принципиально. Главное, что мы можем построить этот серединный перпендикуляр, он и будет искомым (см. рис. 20).

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 3

Рис. 20. Иллюстрация к задаче 3

Задача решена.

Построение прямой, параллельной данной

Эти три задачи были очень похожи. В первой мы строили серединный перпендикуляр к уже имеющемуся отрезку. В двух других мы строили отрезок так, чтобы данная точка лежала на серединном перпендикуляре, а потом снова строили сам перпендикуляр. Обратите внимание, что мы научились строить серединный перпендикуляр, высоту и медиану. О построении четвертой замечательной линии в треугольнике, биссектрисе, поговорим позже.

Мы научились строить прямую, перпендикулярную данной. А можно ли с помощью циркуля и линейки построить прямую, параллельную данной?

Задача 4. Построить прямую, параллельную данной.

Решение

Пусть есть прямая и не лежащая на ней точка (см. рис. 21). Необходимо через точку провести прямую, параллельную прямой . Опять сведем задачу к предыдущим, воспользовавшись признаком параллельности прямых: если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

Рис. 21. Иллюстрация к задаче 4

Опустим перпендикуляр из точки на прямую (мы умеем это делать) (см. рис. 22), а затем через точку проведем еще один перпендикуляр к только что построенной прямой (тоже умеем) (см. рис. 23). В результате получим искомую прямую (проходит через и параллельна ).

Рис. 22. Иллюстрация к задаче 4

Рис. 23. Иллюстрация к задаче 4

То, что такая прямая может быть только одна, гарантирует нам пятый постулат Евклида: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Задача решена.

Деление отрезка на произвольное количество равных частей

Теперь мы можем вернуться к задаче с делением отрезка. Мы уже умеем делить отрезок на две равные части. А на большее количество частей? Понятно, что на четыре части – это пополам, а потом каждую часть еще пополам. А если на 3 или 7?

Мы уже рассматривали эту задачу, когда изучали теорему Фалеса. Напомним ее формулировку: если параллельные прямые отсекают равные отрезки на одной стороне угла, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне. Эту теорему можно использовать для деления отрезка на любое количество равных частей.

Задача 5. Разделить отрезок на 7 равных частей.

Решение

Пусть нужно разделить отрезок на 7 равных частей. Для этого проведем из точки луч, не совпадающий с (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к задаче 5

Отметим на нем на равных расстояниях точки (см. рис. 25).

Рис. 25. Иллюстрация к задаче 5

Соединим и (см. рис. 26).

Рис. 26. Иллюстрация к задаче 5

Через оставшиеся 6 точек проведем прямые, которые параллельны (мы это только что научились делать). Т. к. на одной стороне угла отрезки равны, то, по теореме Фалеса, они равны и на другой стороне (см. рис. 27).

Рис. 27. Иллюстрация к задаче 5

Задача решена.

Итак, мы уже умеем:

строить серединный перпендикуляр к отрезку;
делить отрезок пополам с помощью серединного перпендикуляра;
делить отрезок на произвольное количество равных частей, используя теорему Фалеса;
строить перпендикуляр к прямой, проходящий через данную точку (причем точка может лежать как на прямой, так и вне ее);
строить параллельную прямую через точку, не лежащую на данной прямой.

Построение угла, равного данному

Основные элементы многоугольников – отрезки и углы. С отрезками мы уже многому научились. Поговорим об углах.

Первая задача, которая у нас возникает, – построение угла, равного данному. Для отрезков аналогичная задача решалась непосредственно с помощью циркуля. С углами немного сложнее.

Задача 6. Отложить от луча угол, равный данному.

Решение

Обычно равный угол нам нужен не в произвольном месте, а в конкретном, т. е. уже известна одна из его сторон. В этом случае задачу формулируют так: отложить от луча угол, равный данному.

Итак, вот угол с вершиной (см. рис. 28). Лучи и являются его сторонами.

Рис. 28. Иллюстрация к задаче 6

Есть луч с вершиной (см. рис. 29). Нужно от этого луча отложить угол, равный первому углу.

Рис. 29. Иллюстрация к задаче 6

Равные углы мы обычно встречали при доказательстве равенства треугольников. Воспользуемся этой идеей «наоборот» – построим равные треугольники с углами в вершинах и и из их равенства докажем равенство углов.

Из точки проведем окружность произвольного радиуса. Получим точки на сторонах угла и треугольник (см. рис. 30).

Рис. 30. Иллюстрация к задаче 6

Построим треугольник, равный . Тем же самым радиусом проведем окружность из . Получим точку (см. рис. 31).

Рис. 31. Иллюстрация к задаче 6

В первом треугольнике «измерим» циркулем отрезок и этим радиусом проведем окружность из точки . Получим точку пересечения двух окружностей – (см. рис. 32).

Рис. 32. Иллюстрация к задаче 6

Сравним два полученных треугольника (см. рис. 33).

Рис. 33. Иллюстрация к задаче 6

(это все равные радиусы двух окружностей)

(точка лежит на окружности с радиусом равным )

Получается, треугольники равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Значит, равны и нужные нам углы.

Задача решена.

Почему получилось две точки ?

Если две окружности пересекаются, то в двух точках (см. рис. 34). Мы же выбрали для построения угла только одну. Чем нам не понравилась вторая?

Рис. 34. Две окружности пересекаются в точках и

Дело в том, что в условии не было сказано, в какую сторону от данного луча нужно откладывать равный угол (это можно сделать по часовой стрелке и против часовой стрелки). Соответственно, можно построить два угла, которые удовлетворяют данному условию (см. рис. 35). Мы произвольно выбрали один из них. Но второй ничем не хуже, можно было выбрать его (это зависит от дополнительных условий).

Рис. 35. Два равных угла, отложенных по часовой стрелке и против часовой стрелки от данного луча

Для того чтобы определить, сколько решений имеет задача на построение, обычно проводят этап исследования. Подробнее о нем мы поговорим в конце урока.

Построение биссектрисы

Задача построения медианы свелась к делению отрезка пополам. Чтобы построить биссектрису, нужно научиться делить угол пополам.

Задача 7. Построить биссектрису (разделить угол пополам).

Решение

Рассмотрим угол с вершиной в точке (см. рис. 36). Построим снова два равных треугольника, чтобы получить и равные углы.

Рис. 36. Иллюстрация к задаче 7

Произвольным радиусом проведем окружность с центром в точке . Получим на сторонах угла точки и , где (см. рис. 37).

Рис. 37. Иллюстрация к задаче 7

Из точек и проведем еще по окружности равного радиуса (можно того же самого, можно другого). Пересечение окружностей даст точку (см. рис. 38). Точек получится две, но можно выбрать любую; если вы проводили окружности того же радиуса, что и на первом шаге, то вторая точка совпадет с – выбора не будет.

Рис. 38. Иллюстрация к задаче 7

Получим, что . Соединим точки и (см. рис. 39).

Рис. 39. Иллюстрация к задаче 7

Два получившихся треугольника равны. Почему, ответьте сами. Ну а раз они равны, то равны и углы , – биссектриса.

Задача решена.

По аналогии с делением отрезка хочется сразу перейти к делению угла на произвольное равное количество частей. Опять же ясно, как разделить угол на , и т. д. частей. А можно ли разделить угол на три равные части с помощью циркуля и линейки? Подробнее об этом – ниже.

Деление угла на три части

Оказывается, уже деление угла в общем случае на три равные части нельзя выполнить с помощью только циркуля и линейки. Что значит «в общем случае»? Для некоторых частных случаев, например для прямого угла, задача решается: можно просто построить угол, равный (используя свойство прямоугольного треугольника – катет, который лежит против угла в в 2 раза меньше гипотенузы).

Но речь идет о произвольном угле (градусная мера которого нам заранее не известна). В этом случае задача не решается. Эта задача называется задачей трисекции угла. И она не единственная из задач на построение, которые нельзя решить с помощью циркуля и линейки (обратите внимание: разделить угол на три части вообще и в принципе несложно – достаточно взять транспортир).

Примером еще одной такой известной нерешаемой задачи является задача о квадратуре круга. В ней требуется построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Если мы возьмем круг радиуса 1, то задача сводится к построению квадрата со стороной, равной . Оказывается, что ее тоже нельзя решить с помощью циркуля и линейки.

Обратите внимание, что речь идет не о том, что на данный момент не придумали, как это сделать, а доказали, что этого сделать нельзя. Т. е. доказали, что, как бы ни пытались использовать циркуль и линейку, решить указанные задачи не получится.

Сейчас потренируйтесь самостоятельно. Постройте треугольник по трем сторонам. Вам даны три отрезка (см. рис. 40).

Рис. 40. Данные отрезки

Постройте треугольник, стороны которого равны этим трем отрезкам. С решением можно ознакомиться ниже.

Построение треугольника по трем сторонам

Задача. Построить треугольник по трем сторонам (см. рис. 41).

Рис. 41. Иллюстрация к задаче

Решение

Чтобы с чего-то начать, проведем произвольную прямую и на ней отложим первую сторону треугольника (см. рис. 42). Какую сторону брать первую, не имеет значения, пусть это будет сторона .

Рис. 42. Иллюстрация к задаче

Из концов отложенного отрезка проведем две окружности с радиусами и . Пересечение окружностей даст нам третью точку (см. рис. 43).

Рис. 43. Иллюстрация к задаче

Точек пересечения две – можно выбрать любую; постройте оба варианта треугольников и убедитесь, что это одинаковые треугольники, симметричные друг другу относительно прямой (см. рис. 44).

Рис. 44. Иллюстрация к задаче

Вершину напротив стороны а стандартно обозначают . Соединим с концами отрезка на прямой. Очевидно, что стороны полученного треугольника равны заданным трем отрезкам. Осталось обозначить две оставшиеся вершины. Напротив стороны вершина , напротив стороны вершина (см. рис. 45).

Рис. 45. Иллюстрация к задаче

Задача решена.

Построение касательной к окружности, проходящей через заданную точку

Последняя задача, которую мы с вами рассмотрим на этом уроке, – построение касательной к окружности, проходящей через заданную точку. На ее примере мы проиллюстрируем, какие 4 этапа обычно выделяют при решении задач на построение.

Задача 8. Построить касательную к окружности, проходящей через заданную точку.

Решение

Итак, дана окружность с центром в точке и точка , не лежащая на этой окружности (см. рис. 46). Нужно построить прямую, проходящую через точку и касающуюся окружности. Используйте тот факт, что радиус, опущенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Рис. 46. Иллюстрация к задаче 8

Первый этап. Анализ

Анализ не требует точных построений. И рассуждения начинаются с конца: «предположим, мы уже построили касательную».

Обозначим точку касания . Проведем радиус (см. рис. 47).

Рис. 47. Иллюстрация к задаче 8

Как мы уже сказали, свойством касательной к окружности является тот факт, что касательная перпендикулярна радиусу, который проведен в точку касания:

Продолжим и отметим на нем точку так, чтобы (см. рис. 48).

Рис. 48. Иллюстрация к задаче 8

Полученный большой треугольник является равнобедренным, т. к. у него высота является медианой (см. рис. 49).

Рис. 49. Иллюстрация к задаче 8

В этом треугольнике мы знаем все три стороны:

Треугольник по трем сторонам строить мы умеем. Похоже, мы решили задачу.

Переходим к следующим этапам. Обратите внимание, что нашей целью было свести задачу к одной из тех, которые мы умеем решать. В данном случае нам удалось свести к задаче о построении треугольника по трем сторонам.

Второй этап. Построение

Начертим окружность с центром в точке и точку вне окружности. Построим еще одну окружность с центром в точке с радиусом в два раза большим, чем первая (см. рис. 50).

Рис. 50. Иллюстрация к задаче 8

Получить радиус в два раза больший данного можно разными способами. Например, можно использовать диаметр первой окружности. Далее проведем окружность с центром в точке и радиусом . Пересечение окружностей дают точку . Проведем отрезок (см. рис. 51).

Рис. 51. Иллюстрация к задаче 8

Точку пересечения соединим с точкой , – искомая касательная (см. рис. 52).

Рис. 52. Иллюстрация к задаче 8

Третий этап. Доказательство

После построения необходимо доказать, что мы построили именно то, что нас просили. Доказательство обычно почти повторяет первый пункт – анализ, но требует четкой записи. Итак, докажем, что в самом деле касательная.

Рассмотрим треугольник (см. рис. 53).

Рис. 53. Иллюстрация к задаче 8

Т. к. и лежат на одной окружности с центром в , то , т. е. треугольник равнобедренный.

Т. к. лежит на окружности в два раза большего радиуса, чем , то – середина отрезка : (см. рис. 54).

Рис. 54. Иллюстрация к задаче 8

Значит, – медиана . Но т. к. треугольник равнобедренный, то она является и высотой. Т. к. перпендикулярен радиусу , то – касательная.

Доказано.

Четвертый этап. Исследование

Здесь изучается вопрос: всегда ли в рамках заданных условий решение у задачи есть и сколько их. По нашим анализам и построениям мы видим, что решения всегда есть и их два. Через точку можно провести не одну касательную, а две. Вторая точка касания на нашем чертеже – это (см. рис. 55).

Рис. 55. Иллюстрация к задаче 8

Задача решена.

Обычно задачи на построение требуют применить одно или несколько из следующих построений:

разделить отрезок пополам;
провести перпендикуляр к прямой через точку вне или на прямой;
провести серединный перпендикуляр к отрезку;
разделить угол пополам.

Если каждое из этих построений оформлять подробно, то чертеж к основной задаче «утонет» в этих простых построениях. Поэтому договорились эти построения называть элементарными и не останавливаться подробно на их выполнении.

Заключение

Мы рассмотрели с вами простейшие задачи на построение. По мере изучения новых свойств геометрических объектов мы сможем решать более сложные задачи на построение.

Список литературы

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Разделить отрезок на 4 равные части.
На данном отрезке, как на диаметре, построить окружность.
Построить угол, который равен сумме (разности) двух данных углов.

Урок 9

Вернуться к теме Урок 11

Видеоурок: Построение с помощью циркуля и линейки по предмету Геометрия за 7 класс.