Математика

Введение

 

Мы уже выяснили, что для решения сложных задач на построение можно выделить такие этапы:

 

1. анализ,
2. построение,
3. доказательство,
4. исследование.

Также мы выяснили основные опорные факты, с помощью которых можно решать задачи на построение:

1. свойство серединного перпендикуляра (равноудаленность любой точки серединного перпендикуляра от концов отрезка);
2. свойство биссектрисы (равноудаленность любой точки биссектрисы от сторон угла).

Нам понадобится также следующее определение: длина перпендикуляра – расстояние от точки до стороны.

Разберём несколько примеров.

 

Задача 1

 

 

Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудаленную от этих прямых. Сколько решений имеет система?

 

Решение

Анализ

Три прямые, не проходящие через одну точку, при пересечении образуют треугольник. Воспользуемся вторым опорным фактом (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация ко второму опорному факту

Обозначим точки пересечения прямых и предположим, что равноудаленная точка уже существует. Назовем эту точку  (Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к анализу задачи

Проанализируем, где должна находиться эта точка. Она должна быть равноудалена от сторон угла . Это значит, что она будет находиться на биссектрисе данного угла (Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к анализу задачи

Но точка должна быть равноудалена также и от сторон угла  (Рис. 4). Проведем еще одну биссектрису. Тогда возникает вопрос, сколько еще нужно построить биссектрис.

Рис. 4. Иллюстрация к анализу задачи

Поскольку наша точка находится внутри треугольника и лежит на пересечении двух биссектрис, то выходит, что она равноудалена и от сторон угла  (если точка равноудалена от прямых  и , а также от прямых  и , то она также равноудалена от прямых  и ). Одну точку мы нашли, а есть ли еще решения этой системы? Давайте построим биссектрисы двух внешних углов (Рис. 5).

Рис. 5. Поиск второго решения задачи

Разберемся со свойствами точки . Из второго опорного свойства: если точка  лежит на биссектрисе внешнего угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Опустим на первые две стороны перпендикуляры, исходя из опорных свойств, можно утверждать, что они равны. Аналогичная ситуация происходит и в случае с внешним углом  (Рис. 6).

Рис. 6. Второе решение задачи

Таким образом, мы нашли еще одну точку, лежащую против его вершины . Эта точка равноудалена от трех прямых и лежит вне треугольника. Но мы ведь можем построить еще одну точку, которая будет лежать против вершины  (Рис. 7).

Рис. 7. Третье решение задачи

Полученная точка вновь удовлетворяет условиям задачи. Она равноудалена от трех попарно пересекающихся прямых, которые не проходят через одну точку.

Последовательно применяя первое свойство биссектрисы любого угла, мы можем построить точку, равноудаленную от трех прямых, которая лежит внутри треугольника, а также три точки, которые равноудалены от прямых и лежат вне треугольника. Мы получаем четыре точки, которые являются решением заданной системы. Анализ закончен.

Построение

1. Проводим биссектрисы двух внутренних углов и находим на их пересечении точку (Рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к построению

2. Проведем биссектрисы внешних углов. И найдем сразу три оставшиеся точки, лежащие против углов треугольника (Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к построению

Вспоминая этапы решения задачи, можно отметить, что нам осталось лишь доказать, что построения были выполнены правильно и все условия соблюдены. Так как три наших прямых не проходят через одну точку и попарно пересекаются, а найденные точки равноудалены от них, можно утверждать, что решение найдено правильно.

Перейдем к следующему этапу решения задачи – исследованию.

Можем с уверенностью сказать, что условия задачи выполнимы при любых условиях. И решений у данной системы четыре.

Ответ: точки.

Стоит еще раз подчеркнуть важность умения пользоваться опорными свойствами. При решении данной задачи мы использовали второе опорное свойство.

 

Задача 2

 

 

На стороне  треугольника  постройте точку, равноудаленную от вершин  и .

 

Решение

Построим произвольный . Вновь вернемся к опорным фактам. Если точка, которую мы ищем, и существует, то из первого опорного факта следует, что она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку . Построим серединный перпендикуляр к отрезку  и найдем точку его пересечения со стороной  (Рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к решению задачи

Докажем, что . Можно сослаться на свойство серединного перпендикуляра либо доказать равенство треугольников  (по двум катетам). Один из катетов общий, а другие равны по построению ( – серединный перпендикуляр, значит,  – середина ). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. А значит, гипотенузы  и  равны. Что и требовалось доказать.

 

Осталось провести исследование. Всегда ли будет существовать такая точка? Зависит от того, пересекается ли серединный перпендикуляр к  со стороной .

Если они не пересекаются, значит, параллельны, но тогда из равенства соответствующих углов . То есть такая ситуация будет возможна только для прямоугольного треугольника (во всех остальных случаях прямые непараллельны, значит, у них точно есть одна точка пересечения и задача точно будет иметь единственное решение).

 

Давайте проверим, будет ли решение задачи в случае с прямоугольным треугольником.

Начнем решать задачу тем же способом – проведем серединный перпендикуляр. Получаем, что . Две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны между собой () (Рис. 11).

Рис. 11. Исследование задачи

А это значит, что серединный перпендикуляр и  параллельны между собой, то есть не пересекаются. Значит, если в треугольнике угол  прямой, то задача решений не имеет. В остальных случаях задача будет иметь единственное решение.

Ответ: если в треугольнике угол  прямой, то задача решений не имеет. В остальных случаях задача будет иметь единственное решение.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. Издание М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 издание. М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7. М.: Просвещение.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «yaklass.ru» (Источник)
2. Интернет портал «davay5.com» (Источник)
3. Интернет портал «school-collection.edu.ru» (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. На основании  равнобедренного треугольника  взята точка , равноудаленная от боковых сторон. Докажите, что  – высота треугольника .
2. Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведенной к основанию.
3. В равнобедренном треугольнике  биссектрисы равных углов  и  пересекаются в точке . Докажите, что угол  равен внешнему углу треугольника при вершине .