Математика

Введение

 

Все задачи на построение решаются с помощью двух инструментов – линейки и циркуля, тремя разрешенными операциями.

 

1.      с помощью прямой

   

2.      с помощью прямой через две заданные точки

 

3.      с помощью окружности заданного радиуса

с центром в заданной точке

Решить задачу на построение – означает определить конечную последовательность выполнения указанных операций для получения требуемой фигуры.

 

Задача №351. Условие задачи

 

 

(Учебник: Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.: ил.)

 

Условие:

Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Дано:

Даны три отрезка М₁N₁­, М₂N₂­, М₃N₃­, (рис. 1). Требуется построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем AB и АС, равны соответственно данным отрезкам М₁N₁­, М₂N₂­,а высота АН равна отрезку М₃N₃­. 

   

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Анализ задачи:

Треугольник АНВ прямоугольный, его можно построить по катету и гипотенузе, треугольник АНС также прямоугольный, его тоже можно построить, в результате получим искомый треугольник АВС.

 

Построение треугольника

 

 

Строим прямоугольный треугольник АНВ, у которого сторона АВ равна отрезку М₁N₁­,  а высота АН равна данному отрезку М₃N₃­. На рисунке 2 изображен построенный треугольник АНВ. Затем проводим окружность радиуса M₂N₂ с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник ABC (рис. 3).

 

                    

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

 

Выявляем случаи, когда задача не имеет решение

 

 

1. М₁N₁­≤ М₃N₃­ или М₂N₂­≤ М₃N₃­ – наклонные не могут быть меньше перпендикуляра(АВ – наклонная; АН – перпендикуляр АВ≥АН);

 

2. М₁N₁­= М₂N₂­= М₃N₃­ – треугольник превращается в отрезок.

 

Случаи, когда задача имеет решение

 

 

1. М₁N₁­= М₂N₂­ > М₃N₃­ –задача имеет единственное решение, треугольник равнобедренный (рис. 4).

 

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 

2. М₁N₁­= М₃N₃­ < М₂N₂­ – задача имеет единственное решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 

3. М₁N₁­> М₃N₃­;

    М₂N₂­> М₃N₃­;

    М₁N₁­≠ М₂N₂­.

Берем произвольную прямую а, отметим на ней точку Н, поставим перпендикуляр и отложим отрезок АН=М₃Н_3. В результате получим точку А (рис. 6). Проведем окружность с центром в точке А и радиусом М₁N₁­, получим две точки пересечения с прямой (рис. 7). 

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Проведем окружность большего радиуса с центром в точке А и радиусом М₂N₂, получим снова две точки пересечения с прямой. Две построенные окружности на прямой высекут четыре точки В, В_1, С, С₁(рис. 8). Отметим на чертеже равные радиусы АВ=АВ₁=М₁N₁­, АС=АС₁= М₂N₂­, АН= М₃N₃­(рис. 9).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

 

Рассмотрим треугольник АВС – это искомый треугольник по построению (рис. 10). Рассмотрим треугольник АВС₁ – это тоже искомый треугольник по построению (рис. 11).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Таким образом, в данном случае задача имеет два решения.

Все случаи рассмотрены, задача решена.

 

Список литературы

1. Учебник: Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.: ил.  

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Slovo.ws (Источник).

 

Домашнее задание

1. Учебник: Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.: ил. № 352–356.
2. Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведенной из вершины другого угла.
3. Постройте треугольник по периметру и двум углам.