Математика

Второй и третий признаки равенства треугольников.

Продолжим рассматривать признаки равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

 

Дано:

△АВС и △А1В1С1

АВ = А1В1

⦟A = ⦟A1

⦟B = ⦟B1

Доказать: △АВС = △А1В1С1

Доказательство:

Наложим △АВС на △А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, сторона АВ с А1В1, а точки С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1.

Так как ⦟A = ⦟A1 и ⦟B = ⦟B1, то при наложении таким образом, чтобы АВ совпало с А1В1, стороны углов АС и ВС совпадут с А1С1 и В1С1 соответственно. При этом точка С совпадет с точкой С1. То есть совпадут и две остальные стороны треугольников – АС с А1С1, ВС с В1С1. То есть треугольники при наложении совместятся полностью. Значит, они равны. Что и требовалось доказать.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

△АВС и △А1В1С1

АВ = А1В1

ВС = В1С1

АС = А1С1

Доказать: △АВС = △А1В1С1

Доказательство:

Приложим треугольник △АВС к △А1В1С1 так, чтобы стороны АВ и А1В1 совместились, а вершины С и С1 оказались по разную сторону от прямой АВ. При этом возможны 3 случая. Все они показаны на рисунках. Мы рассмотрим доказательство третьего признака для первого рисунка, а остальные случаи вы можете рассмотреть самостоятельно.

 

 

 

 

АС = А1С1 (по условию)  △СА1С1 – равнобедренный  ⦟АСС1 = ⦟А1С1С.

Аналогично ⦟ВСС1 = ⦟В1С1С.

Следовательно ⦟АСВ = ⦟А1С1В1 как суммы равных углов.

Рассмотрим △АВС и △А1В1С1

1. ⦟АСВ = ⦟А1С1В1;
2. АС = А1С1 (по условию);
3. ВС=В1С1 (по условию);

△АВС = △А1В1С1 (по первому признаку равенства треугольников), что и требовалось доказать.