Математика

Первый признак равенства треугольников.

Методом наложения можно сравнивать любые фигуры. Если они при наложении совпадут, то эти фигуры равны.

Если два треугольника равны, то элементы (то есть стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, а против соответственно равных углов лежат равные стороны.

На практике мы не всегда можем пользоваться методом наложения. Например, если мы сравниваем два земельных участка, то никак не получится наложить один на другой. Поэтому равенство двух фигур устанавливают иначе – измеряя и сравнивая отдельные элементы этих фигур.

Докажем следующее утверждение:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

 

 

Дано:

△АВС и △А1В1С1

⦟А = ⦟А1

АС = А1С1

АВ = А1В1

Доказать: △АВС = △А1В1С1

Доказательство:

Так как ⦟А = ⦟А1, то они при наложении совпадут. А значит, точка А совпадет с точкой А1, и лучи АС и АВ наложатся соответственно на лучи А1С1 и А1В1.

Так как отрезки АС = А1С1 и АВ = А1В1, то точка С наложится на точку С1, а точка В - на точку В1. Так как через две точки можно соединить только одним отрезком, то можно сделать вывод, что отрезок ВС совпадет с отрезком В1С1.

Таким образом, треугольники △АВС и △А1В1С1 полностью совместятся при наложении, а значит, они равны. Что и требовалось доказать.

Посмотрим, как применять признак равенства треугольников для решения задач.

Задача 1. Отрезки АС и ВD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что △АВС = △CDA.

Решение: построим отрезки АС и ВD, которые пересекаются в точке О.

 

 

Рассмотрим △АOD и △COB:

1. АО = СО (по условию);
2. BO = DO (по условию);
3. ⦟AOD = ⦟СОВ (как вертикальные);

△АOD = △COB (по 1 признаку).

Аналогично △АOB = △COD.

△ABC = △AOB+△COB = △COD+△AOD = △CDA.

Значит, △ABC = △CDA, что и требовалось доказать.

Пример 2.

На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е – на отрезке АD. Причем АС = АD, а АВ = АЕ. Докажите, что ⦟CBD = ⦟DEC.

 

 

Рассмотрим △ACE и △АDB:

1. AC = AD (по условию);
2. АВ = АЕ (по условию);
3. ⦟А – общий;

△ACE = △ADB (по первому признаку).

Следовательно, ⦟AEC = ⦟ABD.

⦟CBD = 180°-⦟ABD (смежные) = 180°-⦟AEC = ⦟DEC (смежные).

Следовательно, ⦟CBD = ⦟DEC. Что и требовалось доказать.