Математика

Многоугольник

 

Мы уже говорили о возможных вариантах взаимного расположения трех прямых на плоскости: все три параллельны, все три пересекаются в одной точке, две параллельные, а третья их пересекает. Но все это предельные случаи, которые мы либо уже рассмотрели, либо будем их изучать в дальнейшем.

 

Но если бросить на стол три спички и продлить каждую из них до прямой, то получится три попарно пересекающиеся прямые (см. рис. 1). Можно сказать, что вероятность этого события равна  или что все оставшиеся варианты расположения трех прямых на плоскости столь же вероятны, как и выпадение монеты на ребро.

Рис. 1. Три попарно пересекающиеся прямые

Попарное пересечение трех прямых образует фигуру, которую мы и будем сейчас изучать – треугольник (см. рис. 2).

Рис. 2. Попарное пересечение трех прямых образует треугольник

Самая простая «конечная» фигура – отрезок. Что можно нарисовать из отрезков? Если рисовать отрезки так, чтобы конец одного был началом другого, то получится фигура, которая называется ломаной (см. рис. 3) (в каждой узловой точке как бы ломается), а отрезки, из которых она состоит, называются звеньями.

Рис. 3. Пример ломаной

Сами по себе ломаные – полезные фигуры, поскольку они позволяют приближать различные кривые, а значит, помогают вычислять их длину (см. рис. 4).

Рис. 4. Приближение кривой ломаной

Но особый интерес представляют собой замкнутые ломаные – т. е. те, которые являются границами какой-то области на плоскости (см. рис. 5).

Рис. 5. Замкнутая ломаная

Замкнутую ломаную без самопересечений называют многоугольником (фигура, у которой много углов) (см. рис. 6).

Рис. 6. Пример многоугольника

Из двух отрезков замкнутую ломаную не нарисуешь, значит, наименьшая возможная замкнутая ломаная состоит из  звеньев. Или, по-другому, наименьший из возможных многоугольников – треугольник (см. рис. 7).

Рис. 7. Треугольник – наименьший из возможных многоугольников

Почему многоугольникам и, в частности, треугольникам уделяют так много внимания в геометрии? Любую сложную фигуру можно приблизить как угодно точно многоугольниками. Поэтому, изучая свойства многоугольников, мы можем работать с фигурами любой формы.

Но любой многоугольник можно разбить на треугольники. Это облегчает изучение многих свойств различных многоугольников и сводит их к изучению свойств одной фигуры – треугольника.

 

Периметр как характеристика для сравнения многоугольников

 

 

Начнем с вопроса сравнения многоугольников. Какие есть характеристики, которые можно сравнить? Есть периметр – длина границы многоугольника. Но длина границы мало что нам говорит о размере многоугольника. Вот два многоугольника (см. рис. 8) – один целиком лежит внутри другого, является его частью, т. е. меньше. Но длина границы (периметр) у внутреннего многоугольника больше.

 

Рис. 8. Периметр внутреннего многоугольника больше периметра внешнего

Кроме того, одной и той же веревкой (т. е., имея периметр) можно ограничить разное пространство (см. рис. 9).

Рис. 9. Веревкой можно отделить различные фигуры

 

---

Задача Дидоны

Город Карфаген, по легенде, был основан сестрой финикийского царя, которую звали Дидона. Она переселилась на южный берег Средиземного моря и попросила у местных жителей столько земли около берега, сколько можно охватить шкурой быка. Жители согласились и принесли Дидоне шкуру.

Дидона оказалась хитрее их. Она разрезала шкуру на очень тонкие ремни и связала их в длинный канат. Этим канатом она охватила большую прибрежную территорию, достаточную для постройки города.

Само собой возникает вопрос, как именно нужно положить канат, чтобы он охватил самую большую возможную территорию. Среди всех вариантов расположения концов каната на берегу и разного расположения самого каната самым лучшим оказывается полукруг (см. рис. 10). Какую форму использовала Дидона, легенда умалчивает.

Рис. 10. Полукруг – лучший вариант расположения каната для охвата самой большой возможной территории

В математике эта задача так и называется – задача Дидоны – и имеет более формальную постановку: найти область максимальной площади, ограниченную прямой линией и кривой, концы которой лежат на этой прямой (при этом длина кривой фиксирована).

Подобные задачи в математике называются изопериметрическими («изо» – «постоянный»). На плоскости изопериметрическая задача очень похожа на задачу Дидоны: какую форму должна иметь кривая, чтобы при заданной длине ограничивать максимальную площадь (см. рис. 11)? Решением является окружность (хотя доказать это и не так просто).

Рис. 11. Иллюстрация к изопериметрической задаче

Чуть позже на уроках физики вы узнаете о решении изопериметрической задачи в пространстве: почему капля воды имеет форму шара (оказывается, это связано с тем, что шар имеет наименьшую площадь поверхности при заданном объеме).

---

 

 

Сравнение многоугольников

 

 

Итак, мы убедились, что периметр не подходит в качестве основной характеристики размера многоугольника. Если многоугольники имеют одинаковую форму, то проблемы, чтобы сравнивать их, нет – просто накладываем один многоугольник на другой. Если они совмещаются, то, по определению равных фигур, эти многоугольники равны (см. рис. 13).

 

Рис. 13. Равные многоугольники

Если один помещается полностью внутрь другого, то тот многоугольник, который внутри, меньше, а второй – больше (см. рис. 14).

Рис. 14. Многоугольник слева меньше многоугольника справа

Этот метод мы уже применяли для сравнения отрезков. Но там было проще – все отрезки имеют одинаковую форму. Многоугольники, конечно, могут иметь разную форму (см. рис. 15). Как их сравнивать в этом случае?

Рис. 15. Примеры различных форм многоугольников

Рассмотрим два треугольника (см. рис. 16). Одинаковую ли часть плоскости они ограничивают или разную? Кажется, что разную. Но уже на следующем уроке, когда займемся вплотную треугольниками, мы докажем, что одинаковую.

Рис. 16. Рассматриваемые треугольники

А так ли важна задача сравнения? Да, важна. Если мы знаем, что банки краски хватает на квадрат  х  метра, то хватит ли его на треугольник шириной  метр, но высотой ?

Понятно, что рулона линолеума шириной  метра и длиной  метров хватит на прямоугольную комнату с такими же размерами. А хватит ли его на комнату  х  метра?

Вывод: необходима новая мера, мера внутренности, мера величины куска плоскости, которую ограничивает многоугольник. Такая мера называется площадью.

 

Как измерить площадь

 

 

Как измерить площадь? Веревкой не измеришь, метр тоже не подходит. Мы знаем, что измерение – это сравнение со стандартом (единицей измерения). Значит, нужен новый стандарт, новая единица измерения.

 

Нужна фигура, площадь которой мы будем считать эталоном. Договорились взять квадрат со стороной  м. И площадь такого квадрата будем называть  (см. рис. 17).

Рис. 17. Квадрат со стороной  м и площадью

Или наоборот,  – это площадь квадрата со стороной  м. Аналогично получаются  (квадраты со сторонами  км,  см,  мм соответственно). Сами такие квадраты называют единичными. Это очень похоже на длину и единичные отрезки.

 

---

Единицы измерения площади

Для длины мы использовали единицу измерения метр (и ее производные: сантиметр, километр и т. д.). Почему мы не смогли ее использовать для измерения площади? Потому что нельзя сказать, сколько, например, в квадрате содержится отрезков (точнее, можно сказать: бесконечно много, но тогда площади всех квадратов будут одинаковы, что противоречит здравому смыслу).

А вот сказать, сколько в большом квадрате маленьких, можно. Поэтому в качестве эталона выбирается единичный квадрат со стороной . Площадь квадрата со стороной  м:

Справедливость утверждения: площадь квадрата со стороной  м равна  квадратных метра – следует из того, что в него помещается ровно  квадрата со стороной  м (см. рис. 18).

Рис 18. В квадрат с площадью  помещается ровно  квадрата со стороной  м

Т. е., говоря другими словами, его площадь:

Если расписать подробнее, то это выглядит так:

Такой способ записи может помочь при переводе одних единиц измерения площади в другие. Предположим, что нам нужно перевести  квадратных метров в квадратные сантиметры:

Конечно, каждый раз так подробно расписывать необязательно, зато ошибиться при таком способе перевода гораздо сложнее.

---

 

 

Площадь фигуры

 

 

Площадью произвольной фигуры называют количество единичных квадратов, с помощью которых можно замостить эту фигуру (см. рис. 19). Например, если в прямоугольник помещается  единичных квадратов, то говорим, что площадь прямоугольника – .

 

Рис. 19. Единичный квадрат и фигура, площадь которой равна

Если у нас не получается замостить фигуру целым количеством единичных квадратов, то поступаем так же, как с отрезками: делим каждую из сторон квадрата на , получаем  маленьких квадратиков. Площадь каждого из них равна . Если наш многоугольник удалось замостить  единичными (большими) квадратами и -ю маленькими, площадь многоугольника равна кв. ед.

Если снова целого количества не получилось, то продолжаем процедуру. Опять уменьшаем сторону квадрата в  раз. Если этот процесс не закончится, то площадь будет записана бесконечной дробью. Если закончится, то конечной.

Но абсолютно точно ничего измерить нельзя. Ведь все равно нет абсолютно точных измерительных инструментов. Главное, что мы всегда можем выразить площадь конечной десятичной дробью с необходимой точностью.

Почему в качестве эталона выбрали именно квадрат? Его удобно использовать для того, чтобы замостить фигуры (попробуйте это сделать, например, с помощью окружности). Но, с другой стороны, можно было бы использовать прямоугольные треугольники или прямоугольники. Так что это можно считать просто договоренностью.

Обозначать площадь принято буквой.

Кажется, всем понятно, что такое площадь. Но в математике нужно изучать введенные свойства и характеристики, нужна механика. Для этого нужно ввести аксиомы, т. е. дать полное определение.

Аксиомы площади: площадью фигуры называется такая положительная величина, которая обладает следующими свойствами:

1. площади равных фигур равны;
2. площадь фигуры, разбитой на несколько непересекающихся фигур, равна сумме площадей ее частей;
3. площадь единичного квадрата (квадрата со стороной ) равна .

 

Площадь прямоугольника

 

 

Необязательно каждый раз мостить фигуру единичными квадратами, чтобы найти ее площадь. Рассмотрим прямоугольник со сторонами  и  (см. рис. 20).

 

Рис. 20. Прямоугольник со сторонами  и

Сколько единичных квадратов можно в него поместить? Если  и  – целые числа, то все совсем просто. Например, прямоугольник шириной  и высотой  (см. рис. 21).

Рис. 21. Прямоугольник со сторонами  и

В один ряд можно уложить  единичных квадрата, всего таких рядов можно сделать . Итак, всего  квадратов. Если ширина равна , а высота равна , то всего укладывается  единичных квадратов:

Пусть  и  – дробные числа. Например, ширина равна , а высота равна  (см. рис. 22).

Рис. 22. Прямоугольник со сторонами  и

Тогда помещается  целых ряда по  квадрата и еще ряд из  половинок:

Это верно и для любых других значений  и . Таким образом, для любого прямоугольника со сторонами  и  площадь вычисляется по формуле:

 

Площадь прямоугольного треугольника

 

 

Для треугольника мы тоже можем найти формулу для вычисления площади. Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник (треугольник, у которого есть прямой угол) (см. рис. 23).

 

Рис. 23. Прямоугольный треугольник

Пусть две стороны, прилежащие к этому углу (их называют катетами), имеют длины  и . Понятно, что треугольник можно достроить до прямоугольника со сторонами  и . Площадь этого прямоугольника, как уже известно, равна . Но треугольник – это его половина. Значит, площадь  прямоугольного треугольника со сторонами  и :

 

Площадь произвольного треугольника

 

 

Возьмем произвольный треугольник (см. рис. 24).

 

Рис. 24. Произвольный треугольник

Пусть длина основания равна . Опустим перпендикуляр из вершины на основание (этот перпендикуляр называется высотой). И пусть длина высоты равна . Мы разбили произвольный треугольник на два прямоугольных. Площадь каждого мы уже умеем находить. Основание разбилось на два отрезка:  (см. рис. 25).

Рис. 25. Произвольный треугольник разбит высотой на два прямоугольных

Площади первого и второго треугольников, соответственно, равны:

Площадь большого треугольника равна сумме его частей (вот пример, где пригодилась одна из аксиом из определения площади – аксиома 2):

Мы не рассмотрели случай, когда перпендикуляр к основанию пересекается с основанием вне треугольника (см. рис. 26).

Рис. 26. Перпендикуляр пересекает основание вне треугольника

Вы вполне можете это сделать самостоятельно. Рассуждения очень похожи. Но вывод можно обобщить: площадь  любого треугольника равна половине произведения высоты  на основание , к которому она проведена:

 

Площадь круга

 

 

Легко понять, что окружность не удастся выложить точно единичными квадратами или их частями. Но это и не нужно. Площадь окружности можно получить приближенно с любой точностью. Рассмотрим окружность радиуса  (см. рис. 27).

 

Рис. 27. Окружность с радиусом

Опишем один квадрат вокруг нее и один впишем внутрь (см. рис. 28).

Рис. 28. Описанная около квадрата и вписанная в квадрат окружности

Площадь большого квадрата – , а меньшего –  (он состоит из  прямоугольных треугольников с катетами ).

Значит, площадь круга  находится где-то между этими значениями:

Например, . Это первое приближение площади круга. Можно описывать и вписывать многоугольники с большим количеством углов. Будем получать более точные оценки для площади круга. Точное число, равное площади круга  с радиусом , мы уже знаем – это число .

 

Заключение

Итак, площадь – это мера внутренности любой фигуры. У равных фигур равная площадь.

Обратное неверно. Фигуры могут иметь равную площадь, но быть совсем разными, не равными друг другу.

Для фигур с равной площадью часто используют отдельный термин – равновеликие.

Например, квадрат со стороной  и прямоугольник со сторонами  и  имеют одинаковые площади . Это равновеликие, но не равные друг другу фигуры.

Мы будем изучать разные фигуры – многоугольники и не только. И будем получать для них формулы площади. Для тех же фигур, для которых точную формулу получить сложно, всегда можно использовать приближение различными многоугольниками.

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

2. Интернет-портал math4school.ru (Источник)

3. Интернет-портал math-prosto.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Площадь квадрата равна . Найти его сторону и выразить площадь в квадратных миллиметрах.
2. Найти стороны прямоугольника, если его площадь равна , а периметр равен  м.
3. Найти основание произвольного треугольника в сантиметрах, если его площадь равна , а высота, проведенная к основанию, равна  мм.