Математика

Применение треугольника

 

Геометрических фигур, которые встречаются при решении различных задач, очень много. Изучить свойства всех невозможно.

 

Поэтому нужно использовать приближенные модели. Одной из таких моделей являются многоугольники – с их помощью можно приближать практически любую геометрическую фигуру с требуемой точностью (см. рис. 1).

Рис. 1. Приближение фигуры при помощи многоугольника

Самый простой многоугольник – это треугольник (замкнутая ломаная с наименьшим количеством звеньев) (см. рис. 2).

Рис. 2. Произвольный треугольник

Более того, любой многоугольник можно разбить на треугольники (см. рис. 3), значит, изучая свойства треугольников, мы сможем использовать полученные результаты для описания других многоугольников.

Рис. 3. Разбиение многоугольника на треугольники

Простой пример: пусть нам известно, что у всех треугольников сумма углов одинакова и равна . Тогда мы сразу можем ответить на вопрос – чему равна сумма углов четырехугольника: разбиваем его на два треугольника (см. рис. 4) и получаем:

Рис. 4. Разбиение четырехугольника на два треугольника

Попробуйте сами найти сумму углов произвольных пятиугольников и шестиугольников (см. рис. 5).

Рис. 5. Произвольные пятиугольник и шестиугольник

Другой пример применения треугольников – метод триангуляции (от лат. triangulum – «треугольник»): разбиение поверхности на треугольники в геодезии для вычисления расстояний, планировки и строительства крупных инженерных сооружений и городов (см. рис. 6).

Рис. 6. Разбиение поверхности на треугольники в геодезии

Но для того чтобы использовать треугольники для решения различных практических задач, нужно изучить их свойства. Этим мы и займемся.

 

Неравенство треугольника

 

 

Как мы уже говорили: треугольник – это минимальная замкнутая ломаная (из двух звеньев замкнутую ломаную не получить, из трех можно, это и будет треугольник). Иначе говоря, это три последовательно соединенных отрезка. Из любых ли трех отрезков можно построить треугольник? Легко убедиться, что нет.

 

Возьмем самый длинный из отрезков: если два остальных не сойдутся (см. рис. 7), то треугольник из таких отрезков составить не получится.

Рис. 7. Не из любых трех отрезков можно получить треугольник

В некоторых машинах дворники работают следующим образом (см. рис. 8). Чтобы они не мешали друг другу, нужно, чтобы из этих трех отрезков нельзя было составить треугольник.

Рис. 8. Работа дворников в машине

Пусть есть ломаная из трех отрезков (см. рис. 9).

Рис. 9. Ломаная из трех отрезков

Зафиксируем один отрезок (см. рис. 10) и попробуем замкнуть ломаную в треугольник (см. рис. 11).

Рис. 10. Фиксация одного из трех отрезков

Рис. 11. Замыкание ломаной в треугольник

Понятно, что это возможно лишь в том случае, если сумма длин остальных отрезков больше длины первого (зафиксированного) (см. рис. 12):

Рис. 12. Неравенство треугольника:

Это утверждение называется неравенством треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

Неравенством треугольника нам часто хочется воспользоваться в жизни: вместо того чтобы идти по тротуару, хочется «срезать» и пройти по газону. Потому что так получится короче (быстрее). Поэтому появление табличек с надписями «По газонам не ходить!» частично связано именно с неравенством треугольника.

 

Обобщенное неравенство треугольника

 

 

Неравенство треугольника можно обобщить на случай любого многоугольника (т. е. сформулировать так, чтобы оно было верно не только для треугольника, но и для произвольного многоугольника): длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не больше длины самой ломаной (см. рис. 10):

 

Рис. 10. Обобщенное неравенство треугольника:

Попробуйте доказать этот факт самостоятельно, используя неравенство треугольника. Ознакомиться с доказательством можно ниже.

---

 

Доказательство обобщенного неравенства треугольника

Доказательство (для произвольного четырехугольника)

Рассмотрим произвольный четырехугольник  (см. рис. 11).

Рис. 11. Произвольный четырехугольник

Докажем, что:

Проведем диагональ  (см. рис. 12).

Рис. 12. В произвольном четырехугольнике  проведена диагональ

В треугольнике :

В треугольнике :

Тогда:

Поскольку такое рассуждение можно повторить для любой из сторон, то получаем, что в любом четырехугольнике любая из сторон меньше суммы трех других.

Доказано.

Доказательство (для произвольного пятиугольника)

Рассмотрим произвольный пятиугольник  (см. рис. 13).

Рис. 13. Произвольный пятиугольник

Докажем, что:

Проведем диагональ  (см. рис. 14).

Рис. 14. В произвольном пятиугольнике  проведена диагональ

В четырехугольнике  (как мы только что доказали):

В треугольнике :

Тогда:

Аналогично получили, что в любом пятиугольнике любая из сторон меньше суммы четырех других.

Доказано.

Доказательство (для произвольного n-угольника).

Рассмотрим произвольный n-угольник  (см. рис. 15).

Рис. 15. Произвольный n-угольник

Доказываем его для произвольного -угольника (см. рис. 16), затем проводим в n-угольнике диагональ  (см. рис. 17).

Рис. 16. Произвольный -угольник

Рис. 17. В произвольном n-угольнике  проведена диагональ

Выписываем неравенство для -угольника :

Затем – неравенство для треугольника :

Тогда:

Доказано.

Поскольку мы доказали утверждение для пятиугольника, с помощью описанных рассуждений можем доказать его для шестиугольника, затем перейти к семиугольнику и т. д.

Схема доказательства, которую мы использовали, очень популярна в математике и называется математической индукцией (индукция – переход от частных рассуждений к общим).

Ее суть состоит в следующем: доказываем утверждение для какого-то фиксированного случая, который называется базой индукции (в нашем случае – треугольник, ), предполагая, что для какого-то  утверждение выполнено, доказываем, что оно также будет выполнено для  (называется переход индукции). В таком случае можно считать, что утверждение доказано для всех натуральных : мы доказали его для  (база), а переход позволяет нам перейти от  к , от  к  и т. д. – до бесконечности.

Подробнее с методом математической индукции мы познакомимся на уроках алгебры в старших классах.

---

 

 

Кратчайшее расстояние на сфере

Неравенство треугольника еще раз подтверждает тот факт, что кратчайшее расстояние между двумя точками – это длина отрезка прямой, который их соединяет (см. рис. 18).

Рис. 18. Кратчайшее расстояние между двумя точками – это длина отрезка прямой, который их соединяет

В физике это формулируется так: путь (длина траектории движения от  к ) всегда не меньше модуля перемещения (расстояния между  и  по прямой).

Все приведенные рассуждения про кратчайшее расстояние между точками верны для плоскости. Если рассмотреть, например, движение по поверхности сферы (так перемещаются корабли, самолеты), то определить кратчайшее расстояние между точками сложно – по сфере между ними можно провести разные кривые (отрезок прямой, понятно, провести не получится) (см. рис. 19).

Рис. 19. Определить кратчайшее расстояние между точками при движении по поверхности сферы сложно

Задача нахождения кратчайшего расстояния между точками на сфере имеет большое прикладное значение (ее решение позволяет существенно экономить время, а значит, и топливо, при перемещении самолетов и кораблей). Решением этой задачи является специальная кривая – ортодромия: «ортос» – прямой, «дромос» – бег, путь) (см. рис. 20).

Рис. 20. Ортодромии

Более подробно о том, что это за кривые, вы можете почитать в интернете, но для того чтобы разобраться в деталях, вам понадобится математический аппарат, который мы изучим только в старших классах.

---

 

 

Сумма углов треугольников

 

 

Вернемся к треугольникам. Со сторонами треугольника все оказалось достаточно очевидно. Они подчиняются неравенству треугольника: любая сторона короче суммы двух других. Получается, что не из любых трех отрезков можно составить треугольник.

 

А что можно сказать об углах треугольника? Есть ли для них какие-то ограничения или обязательное условие? Можно ли с произвольными тремя углами построить треугольник?

Если пробовать менять углы и стороны треугольника, то можно сделать такое наблюдение: если одни углы увеличивать, то другие уменьшаются (см. рис. 21). Похоже, что углы тоже связаны неким соотношением, зависят друг от друга.

Рис. 21. Если одни углы треугольника увеличивать, то другие уменьшаются

Возьмем квадрат: у него все стороны равны, все углы прямые. Проведем диагональ (см. рис. 22).

Рис. 22. В квадрате проведена диагональ

В полученном треугольнике (см. рис. 23) один угол прямой, а два других – половины прямых, т. е. равны по .

Рис. 23. Полученный треугольник

Понятно, что сумма углов этого треугольника:

Начнем увеличивать прямой угол почти до развернутого (см. рис. 24).

Рис. 24. Увеличение прямого угла до развернутого

В пределе у нас один угол приближается к , два остальных – к . Т. е. сумма опять равна (или очень близка) .

Наоборот, уменьшим наш угол почти до  (см. рис. 25).

Рис. 25. Уменьшение прямого угла почти до

Оставшиеся два угла будут очень близки к прямым. Снова сумма очень близка или равна .

Мы взяли три очень разных треугольника, и у всех трех сумма углов была или равна, или очень близка к . Можем выдвинуть гипотезу: во всех треугольниках сумма углов одинакова и равна  (см. рис. 26):  

Рис. 26. Во всех треугольниках сумма углов одинакова и равна

Но так ли это на самом деле?

Возьмем произвольный треугольник и приложим линейку к одной стороне (см. рис. 27).

Рис. 27. Приложили линейку к стороне произвольного треугольника

Повернем линейку вокруг вершины так, чтобы она совпала с соседней (смежной) стороной (см. рис. 28).

Рис. 28. Повернули линейку вокруг вершины так, чтобы она совпадала с соседней

Повернем вокруг следующей вершины (см. рис. 29), и вокруг последней (см. рис. 30).

Рис. 29. Повернули линейку вокруг следующей вершины

Рис. 30. Повернули линейку вокруг последней вершины

Линейка снова совпала с первой стороной, но развернулась на . Но ведь мы сделали три поворота, соответствующих трем углам треугольника. Наша гипотеза превращается в уверенность: да, сумма углов треугольника всегда равна . Но поворот линейки не является доказательством, поэтому за нами остается долг – формальное доказательство этого факта (мы вернемся к нему чуть позже).

 

Классификация треугольников по углам

 

 

Итак, мы рассмотрели два очень важных факта про треугольники: как связаны друг с другом стороны (неравенство треугольника) и как связаны углы (сумма равна ). Вернемся теперь к рассмотрению всего множества треугольников.

 

Если мы решили изучать какое-то множество объектов, то нужно начать с классификации. Мы проводим первичный анализ, находим у объектов некоторые общие признаки и выделяем группы, обладающие этими признаками. Внутри этих групп можно найти более узкие признаки и выделить подгруппы, которые им соответствуют, и т. д. Как далеко продвигаться в таком делении, зависит от многих факторов и выбранной методики.

Карл Линней (см. рис. 31) создал единую классификацию растений и животных. Без этого изучать животных и растений было бы весьма затруднительно.

Рис. 31. Карл Линней

Первичное деление на классы было такое:

1. четвероногие (впоследствии – млекопитающие);
2. птицы;
3. амфибии;
4. рыбы;
5. насекомые;
6. черви.

Можно ли проводить классификацию иначе? Конечно. Например, по количеству ног: безногие, одноногие, двуногие и т. д. Все зависит от признаков, которые мы берем за основу.

Мы уже начали классификацию объектов в геометрии: разделили все многоугольники на классы по количеству углов (сторон): треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д.

Треугольники тоже можно классифицировать по различным признакам. Основные элементы треугольника – углы и стороны.

По углам можно выделить три вида треугольников (см. рис. 32):

1. остроугольные (все углы острые, меньше прямого);
2. прямоугольные (есть прямой угол);
3. тупоугольные (есть тупой угол, больше прямого).

Рис. 32. Треугольники (слева направо): остроугольный, прямоугольный, тупоугольный

Попробуйте самостоятельно доказать, что в треугольнике может быть только один прямой или один тупой угол. Из этого будет следовать, что выделенные классы треугольников не пересекаются и любой треугольник может быть отнесен только к одному из них.

Эта классификация будет полезна, в частности прямоугольные треугольники окажется удобно использовать для доказательства большого количества различных свойств и теорем. Более того, они сами по себе очень распространены и часто встречаются при решении различных практических задач.

 

Классификация треугольников по сторонам

 

 

Другая полезная классификация треугольников – по наличию равных сторон.

 

Треугольники, имеющие две равные стороны, называются равнобедренными. Внутри этого класса выделяют еще один – равносторонние треугольники, у которых все три стороны равны (см. рис. 33).

Рис. 33. Треугольники (слева направо): равнобедренный, равносторонний, разносторонний

Понятно, что свойство, которое верно для равнобедренных треугольников, верно и для равносторонних как наследуемое свойство (что верно для любой рыбы, верно и для окуня).

При этом, если равнобедренный треугольник может быть остро-, прямо- или тупоугольным, то для равностороннего остается только один вариант из первой классификации. Несложно понять, какой. Попробуйте сами ответить на этот вопрос, используя подсказку: у равностороннего треугольника (как и у квадрата) равны не только все стороны, но и все углы.

Можно ли делать другие классификации? Можно. Но нужно понимать, даст ли это что-то нам. Например, можно выделить класс треугольников, один из углов которых равен , придумать им название. Но вряд ли этот класс треугольников нам пригодится.

 

---

 

Можно ли выделить классы треугольников с равными углами

Может показаться странным, что мы выделили треугольники с двумя и тремя равными сторонами (см. рис. 34), но не сделали то же самое для углов.

Рис. 34. Треугольники с двумя и тремя равными сторонами

Дело в том, что между сторонами и углами треугольника есть важное соотношение (о котором мы будем говорить чуть позже): против большей стороны треугольника лежит больший угол, а против равных сторон треугольника лежат равные углы, и наоборот (см. рис. 35).

Рис. 35. Соотношение в треугольниках

Получается, что треугольник, у которого равны два угла, будет равнобедренным, а треугольник, у которого равны все три угла, будет равносторонним. Т. е. классы треугольников с равными углами и с равными сторонами совпадут. Поэтому используют только один вариант. Исторически сложилось, что это равные стороны.

---

 

 

Совпадение свойств у равных фигур

 

 

Мы изучаем свойства математических объектов для решения различных практических задач. При этом один и тот же объект может выступать в роли модели для решения совершенно разных задач.

 

Например,  – независимо от того, о чем идет речь: стоимость 7 тетрадок по 10 рублей, площадь куска ткани, который нужен, чтобы пошить 7 штор по 10 квадратных метров каждая.

То же самое мы будем делать и с геометрическими фигурами. К примеру, изучив свойства одного треугольника (площадь, углы, длины сторон), их можно будет использовать для всех таких треугольников – неважно, пластмассовые они или деревянные; применяются ли они для измерений в поле или в архитектуре (см. рис. 36).

Рис. 36. Свойства одного треугольника можно использовать для всех таких треугольников

Но для того чтобы говорить о совпадении свойств, мы должны надежно уметь определять, что данные треугольники равны. Использовать для этого определение равных фигур (должны совпадать при наложении) не очень удобно.

Предположим, нам нужно вырезать треугольную деталь, совпадающую по размеру с треугольной дыркой. Проверить, подходит деталь или нет, легко, достаточно приложить ее к дырке. Но хочется не вырезать деталь, а потом проверять, подходит она или нет, а сразу делать ее правильной.

В переводе на математический язык это означает: нужны простые и надежные критерии для определения равенства треугольников. Сколько параметров должно совпадать, чтобы треугольники оказались равными?

---

 

Равенство и подобие

Что больше – монета или диск Луны? Конечно, диск Луны, скажете вы. Но возьмите монету в вытянутую руку и закройте с помощью нее Луну. Скорее всего, у вас получится. Значит, по определению равных фигур, раз мы смогли совместить их при наложении, круг монеты и круг Луны равны. Где ошибка в наших рассуждениях?

Дело в том, что говорить о равенстве можно только тогда, когда заданы единицы измерения. Т. е. прежде чем совмещать фигуры, мы должны убедиться, что они изображены в одинаковом масштабе, и только тогда мы можем говорить об их равенстве.

Если же единицы измерения не заданы, то нет смысла говорить о равенстве фигур, только об их подобии. Интуитивно понятно, что подобные фигуры – это похожие фигуры (см. рис. 37).

Рис. 37. Подобные треугольники

Если учитель нарисовал на доске фигуру, а вы перерисовали ее в тетрадь (см. рис. 38), то ваши фигуры будут подобны – у учителя на доске она получилась чуть больше, но, если вашу фигуру «растянуть», то они будут одинаковыми.

Рис. 38. Подобные треугольники на доске и в тетради

У подобных фигур, в частности у треугольников, есть много общих свойств. Поэтому, изучая свойства одного треугольника, мы сможем делать выводы обо всех треугольниках, которые ему подобны. Подробнее о подобии мы поговорим чуть позже.

---

 

 

Первый признак равенства треугольников

 

 

Мы уже обсуждали 6 основных параметров треугольника: величины трех углов и длины трех сторон.

 

Пусть даны два треугольника  и все шесть их основных параметров совпадают. Длины трех сторон первого треугольника равны соответственно длинам трех сторон второго, а все углы первого равны соответственно углам второго (см. рис. 39).

Рис. 39. Треугольники  с равными сторонами и углами

Будут ли такие треугольник равны? Т. е. будут ли они совпадать при наложении? Легко убедиться, что да.

Совместим стороны  (см. рис. 40).

Рис. 40. Совместили стороны

Т. к.  равны, то луч  совпадает с лучом . Т.к. отрезки  равны, то точки  совпадут (см. рис. 41).

Рис. 41. Точки  совпадают

Треугольники целиком совпали, они равны (см. рис. 42).

Рис. 42. Треугольники  равны

На самом деле при проведении данного доказательства мы использовали равенство всего лишь трех параметров из шести.

Мы совместили:

1. стороны  (т. к. они равны);
2. лучи  (т. к. );
3. точки  (т. к. равны отрезки );

Т. е. нам понадобилось только то, что .

И этого оказалось достаточным (доказательство будет ровно такое же) для равенства треугольников. Это утверждение называют первым признаком равенства треугольника.

Сформулируем его без использования буквенных обозначений.

Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Таким образом, для равенства двух треугольников достаточно равенства трех элементов. Достаточно измерить две стороны треугольной дырки и величину угла между этими сторонами, чтобы изготовить точную деталь к ней.

 

Второй признак равенства треугольников

 

 

Вопрос равенства треугольников эквивалентен вопросу однозначности построения треугольника. Т. е. доказанный признак утверждает, что по двум сторонам и углу между ними треугольник строится однозначно.

 

Можно ли взять другой набор параметров, который однозначно задает треугольник? Понятно, что если у нас задана одна сторона и углы, прилежащие к ним, то треугольник по этим элементам строится однозначно. Так мы получаем второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство почти такое же, как и у первого признака. Выполните его самостоятельно: попробуйте доказать, что требование к равным углам быть прилежащими к равной стороне избыточное. И признак можно сформулировать так: если сторона и два угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

 

Третий признак равенства треугольников

 

 

Возьмем, к примеру, квадрат. Представьте, что он сделан из палок, соединенных на концах гвоздями. Надавим на один из верхних углов квадрата. Он скашивается набок, перестает быть квадратом и превращается в ромб (см. рис. 43).

 

Рис. 43. Ромб

То же самое можно проделать с любым многоугольником, кроме одного: у треугольника таким образом мы не сможем изменить форму, как бы на него ни давили.

Говорят: треугольник – фигура жесткая. Если вы собрали треугольную деревянную конструкцию, то у нее не нужно усиливать углы, она жесткая. Если у конструкции углов больше, например , то мы часто видим, как углы усиливают, добавляя еще по одной доске в каждом углу, создавая маленькие треугольники (см. рис. 44).

Рис. 44. Усиление углов конструкции при помощи треугольников

На языке геометрии это свойство треугольника называется третьим признаком равенства треугольников.

Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Другая формулировка: треугольник строится однозначно по трем сторонам.

Доказательство

Пусть у треугольников  равны соответствующие стороны (см. рис. 45).

Рис. 45. Треугольники

Докажем, что треугольники равны. Расположим  как на рисунке:  – горизонтально, а  находится в верхней полуплоскости. Попробуем наложить на него треугольник :

 совместим с , это возможно, т. к. это равные отрезки (см. рис. 46).

Рис. 46. Совмещение сторон  с

Найдем местоположение точки  в верхней полуплоскости. Проведем окружность с центром в точке  и радиусом  (см. рис. 47). Точки  лежат на этой окружности.

Рис. 47. Окружность с центром в точке  и радиусом

Проведем окружность с центром в точке  и радиусом  (см. рис. 48).

Рис. 48. Окружность с центром в точке  и радиусом

Т. е. точки  лежат на пересечении этих окружностей. Но в верхней полуплоскости есть только одна такая точка. Значит, эти точки совпадают. Но тогда совпадают и треугольники.

Доказано.

Существуют ли другие признаки равенства? Да, существуют. Мы будем формулировать частные случаи для прямоугольных треугольников. Можно сформулировать признак равенства по двум сторонам и наибольшему углу (т. е. заменить требование к углу, что он должен лежать между равными сторонами) и т. д. Но вышеперечисленные 3 основные признака равенства мы будем использовать чаще всего.

 

Заключение

Итак, повторим:

1. Равные треугольники – это те, которые можно совместить наложением.
2. Если у треугольников равны соответственно все углы и все стороны, то они будут равными (но это излишняя информация).
3. Достаточно равенства трех параметров, что треугольники оказались равными. Так получаем три признака равенства:

• по двум сторонам и углу между ними;
• по стороне и двум прилежащим к ней углам;
• по трем сторонам.

Самостоятельно убедитесь в следующем: равенства двух параметров не хватит для равенства треугольников. Рассмотрите возможные варианты: равенство двух сторон, стороны и угла, двух углов и покажите, что треугольники могут быть разными. Найдите также вариант, когда даже трех параметров не хватает для равенства. Ведь мы перебрали не все комбинации.

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал school-assistant.ru (Источник)
3. Интернет-портал treugolniki.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Один из внешних углов равнобедренного треугольника  равен . Найти градусные меры углов треугольника.

2. Периметр произвольного треугольника  равен  см. Найти стороны треугольника, если .

3. На основании  равнобедренного треугольника  отмечены точки  таким образом, что . Равны ли треугольники ?