Математика

Повторение понятия «равные треугольники», первого признака равенства треугольников

 

Для начала вспомним из материалов предыдущих уроков, что две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке указаны два равных отрезка и два равных угла.

 

              

Рис. 1. Углы А и А₁ равны, АВ = CD

 

Доказательство признаков равенства треугольников

 

 

Рассмотрим теперь равенство треугольников. Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. В таком случае совместятся все стороны и углы треугольников.

 

 

Рис. 2. Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁

         

Теперь мы готовы сформулировать и доказать второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и .      

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины А и А₁, , отрезки АС и А₁С₁ совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то  совпадет с .

Теорема доказана.

Рис. 3. Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁

Третий признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и . 

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате

данного действия имеем три случая:

1. Луч СС₁ внутри .

Рис. 4. Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁

В таком случае по первому признаку.

1. Луч СС₁ совпадает с одной из сторон .

2. Луч СС₁ лежит вне угла .

 

Рис. 5. Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁. Случаи 2, 3

Случаи 2 и 3 предлагаем рассмотреть самостоятельно.

Теорема доказана.

 

 

  

Рис. 6. Третий признак равенства треугольников

 

Решение задач

 

 

Рассмотрим некоторые задачи, чтобы закрепить пройденный материал.

 

Пример 1: Известно, что . Найти стороны АВ и ВС.

Решение: Выполним пояснительный рисунок к задаче.

Рис. 7. Чертеж к примеру 1

Поскольку , то треугольники АВС и ADC равны по второму признаку. Из равенства треугольников следует, что .

Ответ: 11 см, 19 см.

Пример 2: В изображенных треугольниках  , , и медианы ВМ и ВМ₁ тоже равны. Доказать равенство треугольников: .

Рис. 8

Доказательство:                                                    

Вследствие того, что М и М₁ – середины равных отрезков, то А₁М₁ = АМ. , ВМ = ВМ₁  (по условию). Следовательно,  по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов .

,  (по условию),  (по доказанному). Следовательно,  по первому признаку.

Что и требовалось доказать.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Математика (Источник).
2. School.xvatit.com (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 37. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

2. На рисунке РC = QR, CR = QP. Докажите, что ∠CQP = ∠QCR.

3. На рисунке задачи № 2 CP = RQ, CR = PQ. Докажите, что CO = OQ, PO = OR.

4. Докажите перпендикулярность прямых СQ и BА, если AC = BC, а OA = OB.