Математика

Повторение теоретического материала

 

Сначала вспомним, что две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам. 

 

Рис. 1. Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:

АВС = .

Вспомним второй признак равенства треугольников:

 

Рис. 2. Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников гласит, что треугольники могут быть равны по трем сторонам.

 

 

 

Рис. 3. Третий признак равенства треугольников

Подразумевается, что у данных треугольников равны все элементы, но мы доказываем равенство только трех элементов, и этого нам оказывается достаточно для утверждения равенства треугольников.

Не будем забывать о равнобедренном треугольнике – треугольнике с двумя равными сторонами. 

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

  боковые стороны треугольника, а ВС – основание треугольника. Важно заметить, что отрезок AD является и биссектрисой угла А, и медианой к стороне ВС, и высотой к стороне ВС. Немаловажно указать равенство углов .

 

Решение задач

 

 

Рассмотрим типовые задачи по этой теме.

 

Пример 1: Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны. Дано, что . - биссектрисы. Доказать, что 

Рис. 5. Условие к примеру 1

Доказательство:

Из равенства треугольников  следует равенство всех соответствующих их элементов. В частности, , АВ = ,

а также , так как данные углы – половины равных углов .

В свете вышеуказанного, треугольники  по второму признаку. Из равенства следует, что .

Что и требовалось доказать.

Если смотреть с позиции того, что , то все соответствующие стороны и углы совместятся наложением, например, АС и , ∠АВС и ∠ и т.д. В конечном счете, и биссектрисы и совместятся, а значит, они равны.

Пример 2: Прямая  проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна  к нему. Докажите, что:

А.Каждая точка прямой равноудалена от точек А и В.

Дано: АМ = МВ, . Доказать: СА = АВ.

Б.Каждая точка, равноудаленная от точек А и В, лежит на прямой .

Дано: АМ = МВ, , AD = DB. Доказать: D.

Решение:

А. Выполним рисунок к задаче:

Рис. 6. Условие к примеру 2а

Поскольку АМ = МВ, ∠АМС = ∠СМВ = 90°, а сторона СМ – общая у треугольников АМС и ВМС, то данные треугольники равны. Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. В частности, АС = СВ.

Что и требовалось доказать.

Б.

Рис. 7. Условие к примеру 2б

В равнобедренном треугольнике АВD  (по определению, так как AD = DB) MD является медианой, а значит, и высотой. Поэтому , поэтому D.

Что и требовалось доказать.

Заметим, что если точка равноудалена от концов отрезка, она лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к этому отрезку.

                       

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Справочный портал calc.ru (Источник).
2. Признаки равенства треугольников (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Докажите, что треугольники ABЕ и ЕCA равны. Отрезки ВЕ и ОС точкой пересечения делятся пополам. Прямые АВ и АЕ, а также СЕ и АЕ перпендикулярные.

3. Докажите, что ∠САО = ∠СВО, если ОА = ОВ, а AK = BK.

4. На указанном рисунке ∠AKC = ∠BPC. Докажите, что если AP = BK, то ∠АВС = ∠ВАС.