Математика

Общие положения по поводу построения

 

Определим, какие действия мы можем выполнять при помощи циркуля и линейки. Во-первых, с помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также прямую, проходящую через две точки. Через две точки можно провести прямую, и при том только одну.

 

С помощью циркуля можно построить окружность заданного радиуса.

Рис. 1. Окружность и прямая

 

Решение задач

 

 

Пример 1: На заданном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Отрезок АВ и луч ОС даны по условию:

 

  

Рис. 2.1. Условие к примеру 1

Построение:

Рис. 2.2. Решение к примеру 1

Построение выполняем следующим образом: строим окружность с центром в точке О и радиусом АВ. Точка D является точкой пересечения окружности и луча. Отрезок OD – искомый, так как он равен АВ.

Построение выполнено.

Пример 2: Отложить от данного луча угол, равный данному. Заданы угол А и луч ОМ. Построить .

Построение:

Рис. 3.1. Условие к примеру 2

1. Построить окружность Окр(А, r = AB). Точки В и С – являются точками пересечения со сторонами угла А.

Рис. 3.2. Решение к примеру 2

2. На луче ОМ построить окружность с центром в точке О радиуса r = АВ. Получаем точку D на пересечении луча ОМ и окружности

3. Строим третью окружность с центром в точке D радиуса r = BC (где В и С точки пересечения угла А и первой окружности) и получаем точку Е на пересечении двух окружностей

Рис. 3.3. Решение к примеру 2

4. Получаем искомый угол МОЕ = углу А 

5. Угол МОЕ – искомый, так как .

Построение выполнено.

Пример 3: Построить биссектрису данного угла. Дан угол А, необходимо выполнить построение биссектрисы АЕ.

Рис. 4.1. Условие к примеру 3

Построение:

1. Построим окружность Окр(А, r = АB). Точки В и С – точки пресечения окружности со сторонами угла.

2. Выполним построение окружности Окр(В, r = CB) и окружности Окр(С, r = CB). Данные окружности пересекаются в точке Е.

3. Луч АЕ – биссектриса – искомый, так как . Из этого следует, что .

Рис. 4.2. Решение к примеру 3

Построение выполнено.

Пример 4: Из точки, лежащей на данной прямой, требуется провести перпендикуляр к данной прямой.

Построение:

1. МА = МВ. Мы зафиксировали определенные равные отрезки по обе стороны от заданной точки.

2. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q.

3. PМ – искомая прямая. Медиана РМ есть и высота в равнобедренном треугольнике РАВ. .

Рис. 5. Решение к примеру 4

Построение выполнено.

Пример 5: Построить середину данного отрезка. АВ – отрезок. Найти точку О, такую, что АО = ОВ. 

Рис. 6.1. Условие к примеру 5

Построение:

1. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q.

2. PQ пересекает АВ в точке О, точка О – искомая, так как , поэтому PQ – биссектриса в равнобедренном треугольнике РАВ. Следовательно, PQ – медиана.

Рис. 6.2. Решение к примеру 5

Построение выполнено.

           

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Первый признак равенства треугольников (Источник).
2. Справочный портал calc.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 99. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Увеличьте произвольный угол на 25%.

3. Постройте угол, который равен сумме (разности) двух углов, изображенных на рисунках.

4. Докажите, что если две стороны и угол, который лежит против большей из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, который лежит против большей стороны второго треугольника, то эти треугольники равны.