Математика

87. Умножение многочлена на многочлен. Разложение многочлена на множители методом группировки.

Попробуем умножить многочлен на многочлен. Умножим многочлен (а+b) на многочлен (c+d):

(а+b)(c+d)

Заменим многочлен (а+b) переменной х:

х(c+d)

Применим распределительное свойство умножения:

х(c+d) = хс+хd

Произведем обратную замену:

(a+b)c+(a+b)d = ac+bc+ad+bd

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Полученное в результате умножения многочленов выражение также является многочленом.

Пример 1.

(х+3)(6х²-5х+4) = х*6х²+х*(-5х)+х*4+3*6х²+3*(-5х)+3*4 = 6х³-5х²+4х+18х²-15х+12

Приведем подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида:

6х³+13х²-11х+12.

Продолжим рассматривать различные способы разложения многочлена на множители. Познакомимся со способом группировки.

Пример 2. Разложим на множители многочлен ab-2b+3a-6.

Сгруппируем слагаемые так, чтобы из каждой группы можно было выделить общий множитель:

(ab-2b)+(3a-6) = b(a-2)+3(a-2) = (a-2)(b+3).

Можно сгруппировать слагаемые и по-другому:

(ab+3a)+(-2b-6) = a(b+3)-2(b+3) = (a-2)(b+3).

Но не всегда существует несколько способов группировки. Порой довольно трудно догадаться, как именно можно разложить на множители многочлен.

Пример 3. Разложим на множители выражение a²-7a+12.

Если мы сгруппируем (а²-7а)+12, это нам ничего не даст.

Представим -7а как -(3а+4а) = -3а-4а. Тогда

a²-3a-4a+12 = (a²-3a)+(-4a+12) = a(a-3)-4(a-3) = (a-3)(a-4).