Математика

Умножение одночлена на многочлен. Вынесение общего множителя за скобки.

Напомним распределительный закон умножения:

а*(b+c) = ab+ac.

Правило умножения одночлен на многочлен очень похоже на этот закон.

Пример 1. Раскроем скобки в выражении:

9n²(2n³-10n+5) = 9n²*2n³-9n²*10n+9n²*5 = 18n⁵-90n³+45n².

Сформулируем правило умножения одночлена на многочлен.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Обратная процедура называется вынесение общего множителя за скобки или разложение на множители. Зачем нам нужно это действие? Разложив, например, числитель дроби на множители, можно сократить дробь.

Пример 2. Вынесем общий множитель за скобки:

15х²у³-10ху²+5ху = 5ху*3ху²-5ху*2у+5ху = 5ху(3ху²-2у+1).

Бывает так, что общий множитель представляет собой не одночлен, а многочлен.

Пример 3. Вынесем общий множитель за скобки:

2а(х-3)-7b(x-3) = (x-3)(2a-7b).

Иногда для того, чтобы разложить многочлен на множители, бывает нужно сделать небольшие предварительные преобразования.

Пример 4. Разложим на множители 4b(13-x)-6a(x-13).

Вынесем за скобки множитель 2:

2(2b(13-x)-3a(x-13)).

Мы видим, что множители (13-х) и (х-13) отличаются только знаками. Попробуем вынести из скобок (х-13) знак «-». С учётом минуса перед 3а, он превратится в плюс.

2(2b(13-x)+3a(13-x)) = 2(13-x)(2b+3a).

Посмотрим теперь, как применить разложение многочлена на множители для сокращения дроби.

Пример 5.

$\frac{15\mathit{ху}+3{х}^2-45х{у}^2}{45х}=\frac{3х(5у+х-15{у}^2)}{45\mathit{х}15}=\frac{5у+х-15{у}^2}{15}$.