Математика

89. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.

Продолжим изучать формулы сокращенного умножения.

Умножим многочлен (а+b) на многочлен (a-b):

(а+b)(a-b) = a*a+a*(-b)+b*a+b*(-b) = a²-ab+ab-b² = a²-b²

(а+b)(a-b) = a²-b²

Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности квадратов этих выражений.

Также эту формулу можно использовать и для разложения на множители.

a²-b² = (а+b)(a-b)

Для разложения на множители нам пригодятся еще две формулы. Это сумма кубов и разность кубов:

a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

Докажем первое тождество:

(a+b)(a²-ab+b²) = a*a²+a*(-ab)+a*b²+b*a²+b*(-ab)+b*b² = a³-a²b+ab²+a²b-ab²+b³ = a³+b³

Аналогично доказывается и второе тождество:

(a-b)(a²+ab+b²) = a*a²+a*ab+a*b²+(-b)*a²+(-b)*ab+(-b)*b² = a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³ = a³-b³

Правила звучат так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Что такое «неполный квадрат»? Обратим внимание на множители (a²-ab+b²) и (a²+ab+b²). Если бы они выглядели так (a²-2ab+b²) и (a²+2ab+b²), то их можно было бы записать в виде квадрата разности (a-b)² и квадрата суммы (a+b)² соответственно.