Математика

Общие правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, примеры

 

Напомним, что алгебраической дробью называется выражение , где  – многочлены. А многочлены можно и нужно уметь раскладывать на множители. Предположим, нам необходимо сложить или вычесть две алгебраические дроби: .

 

Каков алгоритм наших действий?

1. Сократить или упростить каждую из дробей.

2. Найти наименьший общий знаменатель двух дробей.

Эти действия требуют разложения на множители многочленов .

Рассмотрим несколько примеров на сокращение (упрощение) дробей.

Пример 1. Упростить: .

Решение:

Первое, что необходимо попытаться сделать при сокращении, – вынести общий множитель за скобки.

В нашем случае и в числителе, и в знаменателе есть множители, которые можно вынести за скобки.

.

Затем сократим общие множители числителя и знаменателя. Получим:

. При этом учтём, что знаменатель дроби не может равняться . То есть: .

Ответ:.

Пример 2. Упростить: .     

Решение:

По схеме решения предыдущего примера попытаемся вынести за скобки общий множитель. В числителе это сделать нельзя, а в знаменателе можно вынести за скобку .

Если не получается вынести общий множитель, нужно попробовать воспользоваться формулами сокращённого умножения. Действительно, в числителе стоит полный квадрат разности. Получаем:

.

Мы видим похожие скобки в числителе и знаменателе.

Однако они отличаются знаком.

Для этого воспользуемся равенством: . Отсюда получаем: . Получаем:

.

Ответ:.

Рассмотрим теперь пример, в котором необходимо упростить разность двух дробей.

Пример 3. Упростить: .

Решение:

Поскольку в знаменателе первой дроби стоит разность кубов, воспользуемся формулой сокращённой умножения. Получаем:

.

Ответ:.

 

Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки

 

 

Давайте вспомним: что же такое многочлен? Многочлен – это сумма одночленов. А одночлен – это произведение степеней переменных и чисел.

 

Теперь перечислим и разберём примеры разложения многочленов на множители.

Способ 1. Вынесение общего множителя за скобки.

Пример 4. Разложить на множители: .

Пример 5. Разложить на множители: .

В последнем примере общий множитель – двучлен.

 

Разложение на множители: группировка слагаемых

 

 

Способ 2. Группировка.

 

Пример 6. Разложить на множители: .

Решение:

Вынести общий множитель за скобки в этом примере не удаётся. В этом случае необходимо попробовать сгруппировать слагаемые, в которых есть общие множители.

В этом примере удобно сгруппировать одночлены, содержащие  и . Получаем: . Мы видим, что выражения в скобках практически одинаковы с точностью до знака. Получаем: .

Ответ: .

 

Разложение на множители: формулы сокращённого умножения

 

 

Способ 3. Формулы сокращенного умножения.

 

Перечислим основные формулы сокращённого умножения:

1.  – разность квадратов;

2.  – квадрат суммы (разности);

3.  – разность кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом суммы);

 – сумма кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом разности).

Надо не только запомнить эти формулы, но и уметь находить и применять их в реальных задачах.

Пример 7. Разложить на множители: .

Пример 8. Разложить на множители: .

Решение:

Здесь напрашивается формула квадрата разности. Однако возникает вопрос: как применить эту формулу. Проще всего выделить квадраты, а затем уже найти удвоенное произведение. В данном примере: . То есть, в роли . Получаем: .

Ответ: .

 

Разложение на множители: метод выделения полного квадрата

 

 

Не стоит забывать, что в чистом виде данные методы применяются редко. Чаще используются комбинированные методы.

 

Далее мы рассмотрим ещё один немаловажный приём разложения на множители.

Способ 4. Выделение полного квадрата.

Рассмотрим применение данного метода на конкретном примере.

Пример 9. Разложить на множители: .

Решение:

Выделение полного квадрата обычно происходит по первым двум слагаемым. Действительно, квадрат первого –  – у нас уже есть. Значит, второе слагаемое должно представлять собой удвоенное произведение первого выражения на второе. То есть: . Значит, если в роли  из формулы квадрата разности выступает , то в роли  должна выступать . Для применения этой формулы нам не хватает . Если чего-то не хватает, то можно добавить это выражение и вычесть, чтобы не менять значение выражения. Получаем:

Ответ: .

В заключение рассмотрим пример сложения дробей с применением данного метода разложения на множители.

Пример 10. Упростить: .

Решение:

Воспользуемся разложением на множители первого знаменателя из предыдущего примера. Получим:

.

При этом необходимо учесть ОДЗ данного выражения, а именно: знаменатель дроби не может равняться . Поэтому: .

Ответ: .

На данном уроке мы рассмотрели способы разложения знаменателя на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей, а также применение этих способов для конкретных примеров.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

2. ГДЗ. Видео уроки по математике(Источник).

3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

 

Домашнее задание

1. №№37, 38, 56. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Разложить на множители: а), б) .

3. Упростить выражение: .

4. Построить график функции: .