Математика

Текстовые задачи и алгоритм их решения

 

Ответить на вопрос: «Ты где?» можно по-разному, с разной степенью точности. Однокласснику достаточно будет сказать: «Дома», маме, возможно, придется уточнить, где именно – на кухне, в своей комнате за столом или в гостиной перед телевизором и т. д.

 

Но на него никогда не получится ответить абсолютно точно – всегда можно будет задать уточняющий вопрос.

Чтобы передать информацию, мы обычно решаем задачу упрощения и округления. Нужно выбрать важное и сформулировать это важное максимально точно и коротко. Понятно, что короче и быстрее сказать: «Я в Москве», чем: «Я в столице государства, которое занимает  часть суши, и т. д.…».

При решении любой задачи мы всегда выделяем важное и отбрасываем ненужное. Так, решая задачу про скорость движения парохода по реке, мы не будем говорить о его цвете, названии, возрасте капитана и т. д. Отбрасывать нам придется бесконечно много факторов, поэтому проще перечислить те, которые мы считаем действительно важными при решении той или иной задачи. Это называется составлением модели.

 

Итак, решая любую текстовую задачу, мы будем выполнять три этапа:

1-й этап: анализ условия и обозначения величин.

2-й этап: составление модели.

3-й этап: решение полученного уравнения (системы уравнений) и получение ответа на вопрос (вопросы) в условии.

Собственно, большую часть изучения алгебры до этого мы посвятили как раз 3-му этапу (решению уравнений и их систем). Это была необходимая нам техника, которую теперь мы можем применять для решения конкретных задач.

Итак, наша главная задача – научиться составлять модель, т. е. переписывать условие задачи на математическом языке. В этом будет состоять основная интеллектуальная работа при решении текстовых задач. Дальше будет нужна только техника решения уравнений и систем, которую, надеюсь, вы уже освоили. Если есть сомнения, пересмотрите соответствующие уроки («Линейное уравнение с одной переменной», «Системы линейных уравнений с двумя переменными», «Квадратные уравнения», «Системы уравнений»).

Самое главное при переписывании условия задачи на математический язык – не бояться вводить большое количество обозначений и неизвестных. Постепенно, с приобретением опыта решения таких задач, вы научитесь «видеть» самый быстрый способ составления математической модели – с одной или двумя неизвестными. Но, если сразу так не получается, не бойтесь использовать более длинный, зато более простой и надежный способ.

 

Различных текстовых задач можно придумать очень много. Но все же практически любая из них будет относиться к одному из трех типов:

1. Задачи на проценты (среди них отдельно можно выделить задачи на различные растворы, смеси или сплавы).
2. Задачи на движение (среди них отдельно можно выделить задачи на движение по воде).
3. Задачи на совместную работу.

 

Задачи с процентами

 

 

Для решения задач на проценты, смеси, сплавы нам понадобятся:

 

1. Определение процента:  числа – это его  часть.

2. Определение концентрации (массовой доли): концентрация вещества в растворе (смеси, сплаве) – это отношение массы (объема) этого вещества к общей массе (объему) раствора (смеси, сплава), умноженное на :

3. Массовая доля – это отношение массы (объема) вещества к общей массе (объему) раствора (смеси, сплава):

Например, если  г соли растворили в  г воды, то общая масса раствора равна  г, а концентрация соли в нем:

4. При смешении растворов (сплавов): масса (объем) смеси равна сумме масс (объемов) исходных веществ; масса (объем) растворенного (расплавленного) вещества в смеси равна сумме масс (объемов) растворенных (расплавленных) веществ в исходных растворах (сплавах).

Например: если смешивают  г  раствора соли и  г  раствора соли, то в результате получают  г раствора соли. Чтобы найти концентрацию соли в получившемся растворе, найдем массу соли в каждом из растворов:

1. В первом:

2. Во втором:  от :

Итого: в первом и втором растворах было  г соли, значит, в итоговом растворе соли также будет  г. Концентрация соли в итоговом растворе:

Задача 1. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом  рублей. Митя внес  уставного капитала, Антон –  рублей, Гоша –  уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители догово­рились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставный капитал вкладу. Какая сумма от прибыли  рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

 

Решение

1. Анализ условия

Четыре человека внесли деньги в уставный капитал. Нам сказано, сколько внесли трое, но в разных единицах (Антон – в рублях, Митя и Гоша – в процентах). И дана общая сумма внесенных денег (). Значит, можем вычислить, сколько денег внес Борис (вычесть из общего вклада вклады остальных трех участников).

2. Составление модели

А. Перепишем первую часть условия: «Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом  рублей»:

Б. Перепишем вторую часть условия: «Митя внес  уставного капитала, Антон –  рублей, Гоша –  уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис»:

Получаем:

В. Перепишем третью часть условия: «Учредители договорились делить ежегодную при­быль () пропорционально внесенному в уставный капитал вкладу», это означает:

где  – сумма от прибыли, которую получит Борис (т. е. величина, которую мы ищем).

3. Решение

Из третьего условия видим, что, чтобы найти , надо найти Б. Найдем Б из второго условия:

Найдем  из пропорции:

Ответ: руб.

Задача 2. Виноград содержит  влаги, а изюм –  Сколько килограммов винограда требуется для получения  килограммов изюма?

 

Решение

1. Анализ условия

И изюм, и виноград состоят из влаги и «твердой части». Изюм получается из винограда с помощью высушивания, т. е. изюм – это виноград без некоторого количества влаги (см. рис. 1). При этом масса «твердой части» не меняется.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 2

2. Составление модели

А. «Виноград содержит  влаги, а изюм – »:

Б. «Сколько килограммов винограда требуется для получения  килограммов изюма?»:

3. Решение задачи

Разделим первое уравнение на  и выразим  кг «твердой части»:

Значит, подставляя во второе, получаем:

Значит, для получения  килограммов изюма надо взять  килограммов винограда.

Ответ:  кг.

Задача 3. Имеется два сплава. Первый сплав содержит  никеля, второй –  нике­ля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой  кг, содержащий  никеля. На сколько кг масса первого сплава меньше массы второго?

 

Решение

1. Анализ условия

Из двух сплавов получили третий. Масса полученного сплава, соответственно, равна сумме масс двух исходных. При этом масса никеля в полученном сплаве также равна сумме масс никеля в исходных сплавах (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 3

2. Составление модели

3. Решение задачи

Масса сплава 3 нам дана:  кг. Для удобства обозначим массу сплава 1 как  кг, а массу сплава 2 как  кг соответственно. И перепишем полученные условия в новых обозначениях:

Тогда:

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую мы уже умеем решать:

Решаем ее любым удобным способом:

Т. е. первого сплава взяли  кг, а второго –  кг. В условии спрашивалось, на сколько килограммов меньше взяли первого сплава:

Ответ: на  кг.

При этом обратите внимание, что метод решения не поменяется, если мы будем смешивать другие металлы, растворы жидкостей и т. д. Важна идея решения таких задач: при смешении двух веществ общая масса получившегося вещества равна сумме масс исходных веществ. Действительно, в рассмотренной задаче мы составили систему из двух уравнений. Первое означало, что сумма масс двух сплавов равна массе общего сплава, а второе, что сумма масс никеля в двух сплавах равна массе никеля в общем сплаве.

 

Задачи на движение

 

 

Следующий тип задач, которые мы рассмотрим, – задачи на движение. При этом пока мы остановимся на задачах, где нет движения по воде (реке, озеру и т. д.). Для решения задач на движение нам понадобится: определение скорости при равномерном движении:

 

из которого можно получить еще две формулы для нахождения пути и времени при равномерном движении:

 

Задача 4. Два велосипедиста одновременно отправились в -километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на  км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на  час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

 

Решение

1. Анализ условия

Расстояние, которое проехали велосипедисты: .

Скорость первого: , скорость второго: .

Время движения первого: .

Время движения второго: .

2. Составление модели

Время движения первого велосипедиста:

Время движения второго велосипедиста:

Скорость первого велосипедиста на  км/ч больше скорости второго:

Время движения первого велосипедиста на  час меньше времени движения второго велосипедиста:

Подставив первые три условия в четвертое, получаем уравнение:

3. Решение задачи

Нам дано расстояние: км. Найти необходимо скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым: . Для удобства обозначим:

Получаем дробно-рациональное уравнение, которое мы уже умеем решать – переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к общему знаменателю:

Приравниваем числитель дроби к  (при этом , т. к. знаменатель не равен ):

Скорость не может быть отрицательной, поэтому ответ в данной задаче – скорость первого велосипедиста  км/ч.

Ответ:  км/ч.

 

 

Задачи на движение по воде

 

 

Рассмотрим задачи, в которых встречается движение по реке. Сам ход решения у них не будет отличаться от обычных задач на движение. Единственная разница – в определении скорости движения объекта по течению или против течения реки, а также по озеру (в стоячей воде).

 

Для решения таких задач понадобится:

1. Определение скорости при равномерном движении:

из которого можно получить еще две формулы для нахождения пути и времени при равномерном движении:

при движении по течению реки скорость движения лодки (катера, теплохода) равна сумме собственной скорости и скорости течения (течение «помогает» движению):

при движении против течения реки, соответственно, разности (течение «мешает» движению):

2. При движении по озеру (или в неподвижной воде) скорость лодки (катера, теплохода) равна собственной скорости (течение отсутствует, т. е. скорость течения равна ):

3. При движении плота по течению реки его скорость совпадает со скоростью течения реки (собственная скорость у плота отсутствует, т. е. равна ):

Задача 5. Моторная лодка прошла против течения реки  км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на  часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна  км/ч. Ответ дайте в км/ч.

 

Решение

1. Анализ условия

Расстояние, которое лодка прошла против течения реки и по течению реки: .

Скорость течения реки: .

Скорость лодки в неподвижной воде:  (см. рис. 3).

Время движения туда: .

Время движения обратно: .

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 5

2. Составление модели

Время движения лодки против течения:

Время движения лодки по течению:

Время на движение по течению реки на  часа меньше, чем время движения против течения реки:

Подставив первые два условия в третье, получаем уравнение:

3. Решение задачи

Нам даны расстояние: км, а также скорость течения реки:  км/ч. Найти необходимо скорость лодки в неподвижной воде  км/ч. Получаем дробно-рациональное уравнение:

Такие уравнения мы уже умеем решать: переносим все слагаемые в одну сторону, приводим их общему знаменателю:

Приравниваем числитель дроби к  (при этом  – знаменатель не равен ):

Поскольку скорость не может быть отрицательной, то ответ в задаче  км/ч.

Ответ:  км/ч.

Обратите внимание, что первые два этапа решения не поменялись бы, если бы нам были даны, к примеру, скорости лодки и течения, а найти нужно было расстояние, которое проплыла лодка. После составления уравнений, т. е. перезаписи условия задачи в обозначениях, нам не нужно думать, какая величина что означает. Мы решаем обычное уравнение (или систему). И только в конце для анализа и выбора ответа необходимо вспомнить о том, какую величину обозначала неизвестная.

 

Задачи на совместную работу

 

 

Рассмотрим примеры текстовых задач на совместную работу.

 

Задача 6. Заказ на  деталей первый рабочий выполняет на  час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на  деталь больше?

Решение

1. Анализ условия.

Количество деталей: .

Скорость работы первого рабочего: . Время его работы: .

Скорость работы второго рабочего: .Время его работы: .

2. Составление модели

Время работы первого рабочего:

Время работы второго рабочего:

При этом, по условию, первый выполняет работу на  ч быстрее второго:

По условию скорость первого рабочего, который изготавливает на  деталь в час больше:

Подставляем первое и третье условие во второе. Получаем уравнение:

3. Решение задачи

Получили дробно-рациональное уравнение, которое мы уже умеем решать. Переносим все слагаемые в одну сторону, затем приводим дроби к общему знаменателю:

Приравниваем числитель к  (при этом , т. к. знаменатель не равен ).

Т. к. рабочий не может изготавливать отрицательное количество деталей в час, то получаем, что второй рабочий изготавливает  деталей в час.

Ответ: второй рабочий изготавливает  деталей в час.

 

Вначале могло показаться, что перед нами принципиально новая задача. Однако после составления модели видно, что эта задача ничем принципиально не отличается от задач на движение. Действительно, условие этой задачи можно переписать так: «Расстояние в  км первая машина проезжает на  час быстрее, чем вторая. Какова скорость второй машины, если известно, что скорость первой на  км/час больше?» Т. е. решение текстовых задач на движение и на совместную работу одинаково с точностью до числовых данных.

Чтобы убедиться в этом, можете посмотреть еще один пример решения задачи на совместную работу в ответвлении.

 

---

Задача на совместную работу

Задача. Первая труба заполняет водой бассейн, объем которого равен , на  минут быстрее, чем вторая труба. Сколько кубических метров вытекает за час из каждой из труб, если из первой в час вытекает на  больше, чем из второй?

Решение

1. Анализ условия

Объем бассейна: .

Скорость (расход) первой трубы: , время заполнения бассейна: .

Скорость (расход) второй трубы: , время заполнения бассейна: .

2. Переход к математической записи условия

Время работы первой трубы () на  минут ( часа) меньше времени работы второй трубы ():

Расход (скорость вытекания) воды из первой трубы () на  в час больше расхода второй воды из второй трубы ():

Первая труба заполняет бассейн за время:

Вторая труба заполняет бассейн за время:

Подставляем второе и третье условия в первое и получаем уравнение:

3. Решение задачи

Решаем его, преобразовывая к квадратному:

Приравниваем числитель к  (при этом , т. к. знаменатель не равен ).

Скорость не может быть отрицательной, поэтому:

Ответ: из первой трубы вытекает , а из второй – .

И снова кажется, что это совершенно новая задача. Но прочитаем ее условие так:

«Первый рабочий выполняет заказ из  деталей на  минут быстрее, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает каждый рабочий, если первый рабочий в час делает на  деталей больше, чем второй?» Но такую задачу мы только что решали.

 

Таким образом, несмотря на разнообразные формулировки, все текстовые задачи на движение и совместную работу решаются по одному алгоритму: анализ условия и обозначение величин, составление математической модели (используя три формулы для расстояния, скорости и времени), а затем решение полученного уравнения или системы.

Обратите внимание, что мы рассмотрели на этом уроке большое количество различных текстовых задач с совершенно разными формулировками. Однако «инструментов» для их решения мы использовали всего три:

1. Вычисление процентов и сложение масс при смешении веществ.
2. Сложение и вычитание скоростей при движении в одном и противоположном направлениях.
3. Использование определения скорости равномерного движения и следствий из него.

Таким образом, необходимо научиться отделять инструменты решения (их нам и дает математика) от предмета самой задачи. На следующем уроке мы рассмотрим решение линейных и квадратных неравенств, а также поговорим о применении метода интервалов для решения неравенств.

 

Список литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н.Н., Потапов М. К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С. Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал cleverstudents.ru (Источник)
3. Интернет-портал math24.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Фермер собрал с двух участков  т клевера. На второй год на первом участке урожай увеличился на , а на втором – на  и общий урожай клевера составил  т. Сколько тонн клевера было собрано с каждого участка в первый год?
2. Моторная лодка прошла путь по течению реки  км и обратно за  ч. В другой раз та же моторная лодка за  ч 20 мин прошла по течению реки  км, а против течения  км. Найти скорость моторной лодки в стоячей воде и скорость течения реки.
3. Двое рабочих изготовили вместе  деталей. Первый рабочий работал  дней, а второй –  дней. Сколько деталей изготавливал каждый рабочий за один день, если первый рабочий за  дня изготавливал на  деталей больше, чем второй за  дня?