Математика

Тема 11: Функция y =√x и функция y=k/x. Профильный уровень

Урок 3: Арифметический квадратный корень

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Задача для введения понятия квадратного корня

На сегодняшнем уроке нам необходимо ввести понятие арифметического квадратного корня. Чтобы это сделать, представим себе, что нам выделили участок земли квадратной формы (рис. 1) и мы хотим измерить длину его стороны. При этом известно, что сторона изображенной сетки равна 1 км.

Рис. 1.

Чтобы найти длину стороны участка, можно выписать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке красным цветом. Катеты этого треугольника имеют длины по 1 км, а длину гипотенузы обозначим за .

, но нами пока еще не найдена сторона участка, а найдено значение ее квадрата.

По-другому можно было найти следующим образом: записать площадь квадратного участка , с другой стороны, она равна сумме площадей четырех равных прямоугольных треугольников, из которых состоит участок: . Но площадь прямоугольного треугольника, который является равнобедренным в данном случае, равна . Таким образом, площадь участка: , а с другой стороны , т. е. получаем то, что было получено ранее: .

Вопрос заключается в том, как найти значение стороны квадрата, т. е. ? Попробуем перебрать числа, которые могут претендовать на роль ответа. Начнем с нуля, но не подходит, затем проверим : тоже не подходит (меньше двух), проверим : не подходит, т. к. это больше двух. Получаем следующий вывод, что это некое число между 1 и 2, но оно не может быть, очевидно, целым. Проверять отрицательные числа не будем, т. к. их возведение в квадрат дает положительные значения, которые мы уже проверили. Поскольку у уравнения нет целых решений, то необходимо проверить наличие рациональных решений. Вспомним для этого определение рационального числа.

Определение. Рациональное число – число, которое можно представить в виде дроби , в которой числитель () является целым числом, а знаменатель () натуральным.

Во вставке указано доказательство того факта, что число не может быть рациональным числом.

Вставка 1. Доказательство того, что не является рациональным числом

Теорема. Число , которое удовлетворяет уравнению , не является рациональным.

Доказательство. Предположим, что число , которое удовлетворяет уравнению , является рациональным, т. е. по определению рационального числа его можно представить в виде дроби ( целое число, натуральное), причем примем тот факт, что данная дробь несократима (а если она сократима, то, сократив ее, приступим к доказательству). Подставим такую запись в исследуемое уравнение:

Поскольку правая часть уравнения является четной, т. к. имеет множитель 2, то и левая часть тоже должна быть четной. Поскольку четное, то и тоже четное, т. к. оно целое по предположению и не может быть нечетным, поскольку квадрат нечетного числа тоже нечетное число. Тогда число можно представить в виде , где – некое целое число. Подставим это в полученное уравнение:

Проведя аналогичные рассуждения, как и для числа , можем сделать вывод, что число является четным, и его можно представить в виде . Тогда дробь , как видно, является сократимой, что противоречит предположению доказательства. Поскольку мы пришли к противоречию, то число не является рациональным.

Доказано.

Доказано, что искомое число не может быть ни целым, ни рациональным. Поскольку мы впервые столкнулись с числом, которое не является целым и не является рациональным, то необходимо ввести понятие нового вида чисел. Поможет нам в этом понятие квадратного корня.

Определение. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Стоит отметить важные характеристики чисел из определения. Во-первых, квадратный корень можно вычислять только из неотрицательного числа, т. е. квадратный корень, например, из не имеет смысла, во-вторых, значение самого квадратного корня также является неотрицательным, т. е. квадратный корень не может равняться, например, .

Обозначение квадратного корня из числа : .

Соответственно, мы теперь имеем возможность определить значение стороны нашего земельного участка. Поскольку , то – это такое число, квадрат которого равен двум, а по определению квадратного корня следует, что . Таким образом, искомая сторона земельного участка равна км.

Рассмотрим примеры на работу с квадратными корнями.

Примеры на вычисление и применение корней

Пример 1. Существуют ли выражения: , , , ?

Решение. Для ответа на поставленный вопрос необходимо воспользоваться определением, по определению квадратный корень извлекается только из неотрицательного числа. Поскольку 3, 5 и 0 являются неотрицательными числами, то выражения , и существуют. является отрицательным числом, поэтому не существует.

Ответ., и существуют; не существует.

Стоит отметить, что есть случаи, когда значение квадратного корня можно вычислить в виде целого числа, а есть – когда нельзя. Например, нельзя утверждать, что является целым числом, и значение этого выражения так и приходится оставлять в форме корня, а вот некоторые квадратные корни можно являются целыми числами, убедимся в этом на примере.

Пример 2. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г)

Решение. а) , т. к. корень из 4 – это такое число, квадрат которого равен 4, а это 2 (). Можно утверждать, что не учтено, что и тоже должно являться корнем из 4, но по определению квадратный корень может быть только неотрицательным числом, поэтому не подходит.

б) , т. к. по аналогичным рассуждениям.

в) , т. к. .

г) Поскольку число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, является большим (трехзначным), то описанный ранее метод подбора числа, квадрат которого равен 324, не совсем удобен. Хотя кто-то может знать, что в данном случае подходит число 18, т. к. . Для упрощения поиска ответа разложим число 324 на множители: , теперь попробуем представить полученные числа в виде квадратов: .

Ответ. 2; 5; 0; 18.

В ходе разбора решения пункта «г» предыдущего примера может возникнуть вопрос, а на каком основании мы имеем право утверждать, что корень из произведения равен произведению корней, ведь никакие из свойств корней еще не введены. В следующей вставке можно ознакомиться с основными свойствами корней, которые объяснят наши действия в указанном примере.

Вставка 2. Основные свойства квадратных корней

1. , корень из произведения равен произведению корней, при этом неотрицательные;

2. , корень из частного равен частному корней, при этом неотрицательное, положительное;

3. , корень из квадрата числа равен модулю этого числа (это позволяет избавляться от минуса в случае его наличия).

Замечание. Как уже оговаривалось в ходе решения примера, извлечение корня – это операция по вычислению значения корня.

Рассмотрим уравнения с корнями.

Пример 3. а); б) ; в) .

Решение. а)Из определения квадратного корня (7 – это такое неотрицательное число, квадрат которого равен ) выпишем, что .

б) В данном случае важно обратить внимание на такую часть определения квадратного корня из числа: «Квадратным корнем …называется такое неотрицательное число…», а в нашем случае значение квадратного корня отрицательное, что не имеет смысла по определению, т. е. решений у уравнения нет.

в) По определению квадратного корня, – это такое число, квадрат которого равен 5, т. е. . В данном случае важно отметить, что полученное решение не является для уравнения единственным, т. к. тоже удовлетворяет уравнению, поскольку , и никаких противоречий с определением квадратного корня здесь нет. Т. е. уравнение имеет два решения: и или .