Математика

 

 

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

 

Урок: Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Решение задач

 

1. Повторение понятия квадратного корня

 

 

Повторим теорию. Рассмотрим функцию  и изобразим ее график – правую ветвь параболы (рис. 1).

 

Рис. 1.

И сформулируем следующую задачу: дан , найти  такой, что .

Решение. По определению квадратного корня, т. к. , то , поскольку . Это можно увидеть и по графику – точке с ординатой  соответствует абсцисса .

Ответ..

Пример 1. Вычислить , если , .

Решение. Воспользовавшись определением квадратного корня или указанным графиком (рис. 1) найдем искомые значения:

 

.

Ответ. 16, .

Повторим определение квадратного корня.

Определение. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа  называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

.

 

2. Доказательство того, что корень из 2 не является рациональным числом

 

 

Пример 1. Доказать, что  – нерациональное число.

 

Доказательство. Корень из двух – это такое значение , когда . Изобразим для наглядности график функции  на рисунке 2 и отметим на нем точку с координатами .

Рис. 2.

Выполним доказательство методом от противного. Предположим, что число , которое удовлетворяет уравнению , является рациональным, т. е. по определению рационального числа его можно представить в виде дроби  ( целое число,  натуральное), причем примем тот факт, что данная дробь несократима (а если она сократима, то сократим ее и приступим к доказательству). Подставим такую запись  в исследуемое уравнение:

.

Поскольку правая часть уравнения является четной, т. к. имеет множитель 2, то и левая часть тоже должна быть четной. Поскольку  четное, то и  тоже четное, т. к. оно целое по предположению и не может быть нечетным, поскольку квадрат нечетного числа тоже нечетное число. Тогда число  можно представить в виде , где  некое целое число. Подставим это в полученное уравнение:

.

Проведя аналогичные рассуждения, как и для числа , можем сделать вывод, что число  является четным, и его можно представить в виде . Тогда дробь , как видно, является сократимой, что противоречит предположению доказательства. Поскольку мы пришли к противоречию, то число  не является рациональным.

Доказано.

 

3. Примеры на вычисление значений квадратных корней и решение уравнений

 

 

Пример 2. Вычислить .

 

Решение. , в ходе решения пользуемся определением квадратного корня и тем, что  и .

Ответ. 3.

Пример 3. Вычислить .

Решение. .

Ответ. 70.

Пример 4. Вычислить .

Решение. В начале решения удобно преобразовать смешанную дробь, которая находится под корнем, в неправильную: .

Ответ. 18.

Пример 5. Вычислить .

Решение. Для вычисления квадратного корня из большого составного числа необходимо, пользуясь основной теоремой арифметики, разложить его на простые множители.

 

.

Ответ. 36.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. По определению квадратного корня: .

Ответ. .

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. По определению квадратного корня: . Т. к. при возведении в квадрат отрицательного числа результат положительный, то подходит и отрицательный ответ.

Ответ..

На следующем уроке мы рассмотрим функцию .

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Дидактические материалы по информатике и математике (Источник).

2. Энциклопедия Кругосвет (Источник).

3. Калькулятор (Источник).

 

Домашнее задание

1. №240, 244, 289, 290, 307. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Вычислите .

3. Вычислите, не используя таблицу квадратов и микрокалькулятор: а) , б) .

4. Докажите, что значение квадратного корня не является целым числом: а) , б) .