Математика

Определение и основные свойства квадратного корня

 

Вначале повторим основную теорию.

 

Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа  называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .

.

Из определения следует тождество  при .

Пример 1. Вычислить значения корней:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Основные свойства квадратного корня:

а)

б)  (аналогично верно и для любого количества множителей)

в)

г)

 

Примеры на вычисление квадратных корней с применением их свойств

 

 

Пример 2. Вычислите а) ; б) .

 

Решение. а) Преобразуем десятичную дробь к виду обыкновенной дроби .

б) Внесем частное корней под один корень и выполним сокращение: .

Ответ. 1,5; 30.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Для вычисления корней из больших чисел удобно использовать их разложение на простые множители, что можно сделать согласно основной теореме арифметики.

. Из полученного разложения можно записать: .

Ответ. 28.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Для выполнения умножения дробей и извлечения из них квадратного корня необходимо привести их к виду неправильных дробей.

 и . Подставим полученные дроби под знак корня:

.

Ответ..

Пример 5. Вычислить .

Решение. Этот пример демонстрирует, что в некоторых случаях для преобразования численных выражений удобно пользоваться формулами сокращенного умножения, в данном случае это формула разности квадратов.

.

Ответ..

 

Пример на функциональное тождество

 

 

Пример 6. Дано: . Доказать: .

 

Доказательство. Отметим, что указанная функция имеет область определения  из определения квадратного корня. Выпишем, чему равны левая и правая часть доказываемого тождества:

, что и требовалось доказать.

Доказано.

На следующем уроке мы начнем рассмотрение преобразований выражений с корнями.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал для всей семьи (Источник).

2. Подготовка к единому государственному экзамену по математике (Источник).

3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

 

Домашнее задание

1. №323, 326, 334, 346. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Вычислите: а) , б) , в) , г) .

3. Используя свойства квадратных корней, найдите значение числового выражения: а) , б) , в) .

4. Вычислите: а) , б) .