Математика

Как построить график функции у = f (x + t), если известен график функции у = f(x)

 

Конкретизируем задачу.

 

Дано:

Кривая ; график этой функции нам известен

 (действительное число)

Построить:

Это и есть задача нашего урока. Рассмотрение этой задачи начнем с простейших примеров.

 

Пример 1

 

 

Пример 1. Построить а) у = (х – 1)²; б) у = (х + 1)²

 

Дано:

у = х²(графиком данной функции является парабола (рис. 1).

Рис. 1. Парабола

Решение:

Поясним характер кривых, их взаимное расположение поясним с помощью таблицы.

х	-2	-1	0	1	2
у = х2	4	1	0	1	4
у = (х – 1)2	9	4	1	0	1
у = (х + 1)2	1	0	1	4	9

Строим график функции у = (х – 1)² (рис. 2):

Рис. 2. График функции у = (х – 1)²

Следует заметить, что кривая а) была получена сдвигом на 1 единицу вправо. Кривая же б) будет получена сдвигом на 1 единицу влево (что можно проверить, поставив полученные в таблице точки на координатную прямую) (рис. 3):

Рис. 3. Сдвиг графика

Заметим еще раз, что если к х прибавляется 1 единица, то сдвиг исходной прямой идет влево вдоль оси Ох, а если отнимается – то сдвиг графика идет вправо.

Вспомнить, когда сдвиг идет направо, а когда – налево, нам помогает самая характерная точка параболы – вершина параболы.

Значение у = 0 достигается этими функциями (рис. 4):

при х = 0, если у = х²

при х = 1, если у = (х – 1)²

при х = -1, если у = (х + 1)²

Рис. 4. Случаи, когда у = 0

Если у нас у = (х – 1)², то кривая сдвигается на 1 единицу вправо.

Если у нас у = (х + 1)², то кривая сдвигается на 1 единицу влево.

Мы рассмотрели конкретный случай с конкретными числами. Но вместо чисел, можно взять любое действительное число; вместо функции у = х²можно взять любую функцию. Получим важное правило.

 

Правило

 

 

Чтобы получить у = f(x + t), надо кривую у = f(x):

 

- сдвинуть на  единиц вправо, если t < 0,

- сдвинуть на  единиц влево, если t > 0

 Это правило является центральным, и нам необходимо закрепить его на примерах.

 

Пример 2

 

 

Дано:

 

 

Построить:

а)

б)

Решение:

а) Строим график функции  и сдвигаем его на 1 единицу вправо (согласно правилу) (рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к примеру а)

Эта гипербола не существует в точке  (вертикальная асимптота проходит в точке ).

Точка пересечения с осью Оу – -1, потому что у(0) = -1.

Задача а) решена.

б) Строим график функции  и сдвигаем его на 1 единицу влево (согласно правилу) (рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к примеру б)

Эта гипербола не существует в точке .

Точка пересечения с осью Оу – 1, потому что у(0) = 1.

В построении графика  помогла точка разрыва графика (то есть точка ; вертикальная асимптота проходит в точке , что означает невозможность существования функции в данной точке.).

Обе задачи решены.

Из этой задачи мы можем сделать вывод, что, если правило забыто, то нам может помочь характерная особенность (например, точка разрыва в примере 1). Но иногда сдвигать график утомительно, тогда мы поступаем следующим образом:

 

Пример 3

 

 

Дано:

 

 

Построить:

а)

Решение:

Можно сдвинуть ось Оу. Кривая тогда останется на месте, однако масштаб по оси Ох придется изменить. Если сдвигать всю кривую для построения графика функции, то кривую надо сдвинуть на 1 единицу вправо. Но если мы сдвигаем ось Оу, то ее надо сдвинуть на 1 единицу влево.

Получим новую ось Oу(рис. 7):

      

Рис. 7. Иллюстрация к примеру 2

Асимптота проходит в точке , потому что в точке  функции не существует.

Задача решена сдвигом оси Оу. Итак, если затруднительно сдвигать кривую, то можно сдвинуть ось в ту или иную сторону.

         

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

1. № 19.11, 19.18, 19.24 стр. 116–120. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Urokimatematiki.ru (Источник).
2. Интернет-портал Festival.1september.ru (Источник).
3. Интернет-портал Yaklass.ru (Источник).