Математика

Как построить график функции у = f (x) + m, если известен график функции у = f(x) 

 

На прошлом уроке мы научились график функции . Сейчас же наша задача – научиться строить график функции . Рассмотрим пример:

 

 

Задача 1

 

 

Дано:

 

у = х²(графиком данной функции будет парабола) (рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Построить:

а) у = х² + 1

б) у = х² - 1

Решение: Поясним характер кривых, их взаимное расположение поясним с помощью таблицы:

х	0	1	-1	2	-2
у = х2	0	1	1	4	4
у = х2 + 1	1	2	2	5	5
у = х2 – 1	-1	0	0	3	3

Строим график функции у = х² + 1 (рис. 2):

Рис. 2. График функции у = х² + 1

График этой функции получается с помощью сдвига вверх на 1 единицу графика исходной функции.

График же следующей функции мы получим сдвигом исходной функции вниз на 1 единицу (рис. 3):

Рис. 3. График функции у = х² – 1

Итак, чтобы построить график функции у = х² + 1, надо график исходной функции сдвинуть на 1 единицу вверх. Чтобы построить график функции у = х² – 1, необходимо график исходной функции сдвинуть на 1 единицу вниз.

Сдвиги вверх и вниз приводят к изменению множества значений. Множество значений иллюстрирует эти сдвиги:

       

;             

;       

Мы рассмотрели частный случай, когда к х² прибавляли или отнимали единицу. Отсюда следует правило:

Правило построения не изменится при . Правило также не изменится, если мы возьмем любую другую функцию.

Сформулируем важное для нас правило:

 

Правило

 

 

Чтобы получить у = f(х) + m, надо кривую у = f(x):

 

- сдвинуть на  единиц вверх, если m > 0,

- сдвинуть на  единиц вниз, если m < 0

Рисунок отображает графически данное правило (рис. 4):

Рис. 4. Иллюстрация правила

 

Задача 2

 

 

Дана кривая . Построить кривые: а) ; б)

 

Построение:

а) Строим график функции  и сдвигаем его на 1 единицу вверх (согласно правилу) (рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к задаче а)   

График функции а) построен сдвигом графика исходной функции на 1 единицу вверх.

б) Строим график функции  и сдвигаем его на 1 единицу вниз (согласно правилу) (рис. 6):

         

Рис. 6. Иллюстрация к задаче б)

Кривые а) и б) построены. Сделаем некоторый анализ:

У нас есть 3 кривые (у = ; у =  и у = . Каждая из них есть гипербола. Шаблоном для всех остальных является гипербола . Но у каждой гиперболы есть свой центр симметрии. Отметим их:

(0; 0) –

(0; 1) –

(0; -1) –

Итак, построены 3 гиперболы, и для каждой из них указан центр.

           

Далее рассмотрим горизонтальные асимптоты:

Теперь проанализируем множества значений для каждой из функций:

    

   

    

 

Задача 3

 

 

Найти все значения параметра а, при которых уравнения: а) ;

 

б)  = а; в)  = а не имеют решений.

Решение:

а)

Ответ для этой задачи ясен сразу. Уравнение , если .

Ответ: это уравнение не имеет решений, когда .

б) Преобразуем левую часть:

=>

Эту функцию мы уже рассматривали в задаче 2. Эта функция принимает все значения, кроме 1.

Если  , то это уравнение не имеет решений.

 =  + 1 =>  =  =>  => = 1 =>  

Ответ: это уравнение не имеет решений, когда .

в) Запишем его следующим образом:

 =>

Мы только что рассматривали эту функцию в задаче 2 и выяснили, что она принимает все значения, кроме -1.

Если , то это уравнение не имеет решений.

Ответ: это уравнение не имеет решений, когда .

Дадим геометрическую интерпретацию каждой из задач (рис. 7)

Рис. 7. Иллюстрация к задачам

Итак, мы решили 3 задачи и дали иллюстрации к каждой из них.

 

Задача 4

 

 

Решить уравнение .

 

Решение:

Для начала попробуем решить аналитическим методом.

а) Приведем к общему знаменателю и получим:

 = 0

Дробь равна 0 тогда, и только тогда, когда числитель ( равен 0, а знаменатель (х) не равен 0. Но уравнения третьей степени мы сейчас решать не можем. Значит, единственным возможным методом остается графический.

б) Перепишем данное уравнение  

График функции как из левой, так и из правой части мы умеем построить.

Надо построить график каждого из уравнений (рис. 8):

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

График нам подсказывает, что если:

 – решений нет

 – решение может быть только одно (это наглядно отображено на графике)

Проверим :

Получили обоснованный ответ, что .

Ответ: .

Подчеркнем: данное уравнение удалось решить только графическим методом. Это еще раз подтверждает важность построения графиков функции, в том числе и функции вида .

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

1. № 20.7, 20.16, 20.27, 20.32 стр. 125–131. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Yaklass.ru (Источник).
2. Интернет-портал Festival.1september.ru (Источник).
3. Интернет-портал Unimath.ru (Источник).