Математика

Построение графика y = f (x + t) + m через повторение правил на построение y = f(x + t) и y = f(x) + m

Мы умеем строить график функции y = f(x+t), если известен график функции y = f(x).

Правило построения графиков функции y = f(x+t):

y = f(x+t)

y = f(х) сдвигаем:

- при  на  единиц  

- при  на  единиц

Правило построения графиков функции y = f(x) + m:

y = f(x) + m

y = f(х) сдвигаем:

- при  на  единиц

- при  на  единиц

 

Пример №1 на построение графика y = f (x + t) + m

Пример. Построить график функции
Дано:
Решение. 1. Сначала мы должны построить график функции вида  в нашем случае это .

Так как -1 < 0, то, соответственно, график сдвигается вдоль оси Ох вправо на 1 единицу (рис. 1).

Рис. 1. График функции

2. Теперь построим :
Так как , а 2 > 0, то график, полученный в предыдущем действии, мы сдвигаем вверх 2 единицы (рис. 2).

 

Рис. 2. График функции
Этот график и будет графиком требуемой функции. Точка пересечения с осями – (0; 3).

Пример решен.

 

Правило построения графика y = f (x + t) + m

В данном примере числа -1 и 2 можно заменить на параметры t и m соответственно.

 

Функцию  также можно заменить на любую другую функцию. В результате можно сформулировать правило построения графика функции у = f (x + t) + m:

Чтобы получить кривую , надо кривую  сдвинуть:

- при  на |t| единиц  

- при  на |t| единиц

- при  на |m| единиц

- при  на |m| единиц

 

Задача №1 на построение графика типа y = f (x + t) + m

Построить:1.; 2. ; 3.
Решение.

1. Сначала мы должны построить график первой функции:

;  

Ее графиком является гипербола (рис. 3):

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 1

2. Теперь построим график второй функции:

;
На данном графике х не должен равняться 2.
Так как t в этом уравнении равен -2, то, исходя из правила, сдвигаем график функции  на 2 единицы вправо и получаем (рис. 4):

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2

Точка пересечения с осью .
3. Теперь же построим график третьей функции:

Так как m = 1 (1 > 0), то график предыдущей функции (полученной в действии 2), исходя из правила, мы сдвигаем на 1 единицу вверх (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 3

Теперь найдем точки пересечения с осями: с осью  с осью .

Рассмотрим выражение:

Приведя к общему знаменателю, мы получим:

Такая функция (которая выделена красным цветом) называется дробно-линейная.           

Если бы задача была задана: «Построить график функции », то как построить график такой функции?
Поступим следующим образом:
1. Знаменатель оставим без изменений, а в числителе выделим знаменатель. Таким образом, мы добавим +2 и -2.

2. Почленное деление даст . То есть графиком заданной функции будет гипербола.

 

Ззадача №2 на построение графика типа y = f (x + t) + m

Построитьграфик функции
Решение:

1. Сначала выделим полный квадрат в данном выражении с помощью прибавления 2² и вычитания 2². Получаем:

2. Шаблон для данной функции есть функция . Так как , а , то сначала мы сдвигаем график на 2 единицы вправо, а затем вверх на 1 единицу (согласно правилу) (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Точка пересечения с осью Оу – (0; 5).
Задача решена.

 

Повторение пройденного на уроке

Мы изучили правило построения кривой у = f (x + t) + m, если известен график функции у = f(x). Применили это правило для конкретных задач.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

1. Построить график функции ;
2. Построить график функции