Математика

Тема 6: Квадратные корни

Урок 6: Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из степени. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория
Заметили ошибку?

Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из степени.

Арифметический квадратный корень обладает рядом свойств.

  1. ab=ab (a,b≥0). Если a и b – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

    Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

    (ab)2=ab

    (ab)2=ab

    Функция y=x2 при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

    Следовательно, ab=ab, так как равны их квадраты.

    Примеры:

    36·25=3625=65=30

    8·50=8225=1625=45=20

    Рассмотрим обобщение первого свойства: abc=abc при a,b,c≥0.

    Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней этих множителей.

    Примеры:

    81·4·16=81416=924=72

    0,01·8·50=0,018225=0,011625=0,145=2

  2. ab=ab (a>0, b≥0). Если а – неотрицательное число, а b – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

    Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

    ab2=ab

    ab2=(a)2(b)2=ab

    Функция y=x2 при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

    Следовательно, ab=ab, так как равны их квадраты.

    Примеры:

    49=49=23

    1916=2516=2516=54=114

  3.  

    a2n=an при a≥0, n∈N

    Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

    (a2n)2=a2n

    (an)2=a2n

    Функция y=x2 при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

    Следовательно, a2n=an, так как равны их квадраты.

    Примеры:

    36=323=33=27

    x8=x24=x4 при x≥0

    Рассмотренные свойства широко используются в различных задачах.

    Разберем пример:

    132-122=(13-12)(13+12)=125=5

    Конечно, в данном примере можно было просто вычислить квадраты указанных чисел, а затем посчитать их разность. Однако подсчёт «в лоб» станет слишком трудным для больших чисел.

    Рассмотрим одну из самых распространённых и грубейших ошибок, которую часто допускают при работе с квадратными корнями.

    Утверждение а±b=a±b – НЕВЕРНО!

    В качестве подтверждения рассмотрим следующий пример: 9+16=25=5, а 9+16=3+4=7. Как видим, применение неправильной формулы приводит к неправильным результатам.