Математика

Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из степени.

Арифметический квадратный корень обладает рядом свойств.

1. $\sqrt{\mathit{ab}}\mathit{=}\sqrt{\mathit{a}}\sqrt{\mathit{b}}$ (a,b≥0). Если a и b – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

   Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

   ${\left(\sqrt{\mathit{ab}}\right)}^2=\mathit{ab}$

   ${\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)}^2=\mathit{ab}$

   Функция $y=x^2$ при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

   Следовательно, $\sqrt{\mathit{ab}}=\sqrt{a}\sqrt{b}$, так как равны их квадраты.

   Примеры:

   $\sqrt{36·25}=\sqrt{36}\bullet \sqrt{25}=6\bullet 5=30$

   $\sqrt{8·50}=\sqrt{8\bullet 2\bullet 25}=\sqrt{16\bullet 25}=4\bullet 5=20$

   Рассмотрим обобщение первого свойства: $\sqrt{\mathit{abc}}=\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}$ при a,b,c≥0.

   Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней этих множителей.

   Примеры:

   $\sqrt{81·4·16}=\sqrt{81}\sqrt{4}\sqrt{16}=9\bullet 2\bullet 4=72$

   $\sqrt{0,01·8·50}=\sqrt{0,01\bullet 8\bullet 2\bullet 25}=\sqrt{0,01}\sqrt{16}\sqrt{25}=0,1\bullet 4\bullet 5=2$

2. $\sqrt{\frac{\mathit{a}}{\mathit{b}}}\mathit{=}\frac{\sqrt{\mathit{a}}}{\sqrt{\mathit{b}}}$ (a>0, b≥0). Если а – неотрицательное число, а b – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

   Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

   ${\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)}^2=\frac{a}{b}$

   ${\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2}{{\left(\sqrt{b}\right)}^2}=\frac{a}{b}$

   Функция $y=x^2$ при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

   Следовательно, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, так как равны их квадраты.

   Примеры:

   $\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$

   $\sqrt{1\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$

3.  

   $\sqrt{{\mathit{a}}^{\mathit{2}\mathit{n}}}\mathit{=}{\mathit{a}}^{\mathit{n}}$ при a≥0, n∈N

   Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

   ${\left(\sqrt{a^{2n}}\right)}^2=a^{2n}$

   ${\left(a^n\right)}^2=a^{2n}$

   Функция $y=x^2$ при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

   Следовательно, $\sqrt{a^{2n}}=a^n$, так как равны их квадраты.

   Примеры:

   $\sqrt{3^6}=\sqrt{3^{2\bullet 3}}=3^3=27$

   $\sqrt{x^8}=\sqrt{x^{2\bullet 4}}=x^4$ при x≥0

   Рассмотренные свойства широко используются в различных задачах.

   Разберем пример:

   $\sqrt{{13}^2-{12}^2}=\sqrt{(13-12)(13+12)}=\sqrt{1\bullet 25}=5$

   Конечно, в данном примере можно было просто вычислить квадраты указанных чисел, а затем посчитать их разность. Однако подсчёт «в лоб» станет слишком трудным для больших чисел.

   Рассмотрим одну из самых распространённых и грубейших ошибок, которую часто допускают при работе с квадратными корнями.

   Утверждение $\sqrt{а\pm b}=\sqrt{a}\pm \sqrt{b}$ – НЕВЕРНО!

   В качестве подтверждения рассмотрим следующий пример: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, а $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$. Как видим, применение неправильной формулы приводит к неправильным результатам.