Математика

Функция $\mathit{y}\mathit{=}\sqrt{\mathit{x}}$ и ее график

Пусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь равна S см. Каждому значению длины а стороны квадрата соответствует единственное значение его площади S. Зависимость площади квадрата от длины его стороны выражается формулой $S=a^2$, где а≥0.

Наоборот, для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение длины стороны а. Зависимость длины стороны квадрата от его площади выражается формулой $a=\sqrt{S}$.

Формулами $S=a^2$, где а≥0, и $a=\sqrt{S}$ задаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной является длина а стороны квадрата, а во втором – площадь S.

Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы $y=x^2$, где х≥0, и $y=\sqrt{x}$.

Мы знаем, что графиком функции $y=x^2$, где х≥0, является часть параболы – ее правая ветвь (потому что сторона квадрата не может отрицательной).

Построим теперь график функции $y=\sqrt{x}$.

Так как выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл при х≥0, то областью определения функции $y=\sqrt{x}$ служит множество неотрицательных чисел.

Составим таблицу значений функции $y=\sqrt{x}$. Будем вычислять с точностью до десятых.

х	0	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8	9
у	0	0,7	1	1,4	1,7	2	2,2	2,4	2,6	2,8	3

Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице.

 

 

Свойства функции:

1. Выражение $y=\sqrt{x}$ имеет смысл только при неотрицательных значениях x, следовательно областью определения функции является промежуток [0;+∞) (от нуля до бесконечности).
2. Множеством значений функции является промежуток [0;+∞) (от нуля до бесконечности).
3. Значение функции y = 0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.
4. Функция не является ни четной, ни нечетной (график не симметричен).
5. График функции пересекается с осями в единственной точке - (0;0).
6. Функция возрастает на области определения.
7. Функция принимает положительные значения на промежутке (0;+∞), график расположен в I координатной четверти.

График функции $y=\sqrt{x}$, как и график функции $y=x^2$, где х≥0, представляет собой ветвь параболы. Эти графики симметричны относительно прямой $y=x$.

 

 

Доказательство симметрии графиков основано на том, что точки с координатами (а;b) и (b;a) симметричны относительно прямой $y=x$.

Пусть точка М(а;b) принадлежит графику функции $y=x^2$, где х≥0. Тогда верно равенство $b=a^2$. По условию а – неотрицательное число, поэтому $a=\sqrt{b}$. Значит, при подстановке координат точки N(b;a) в формулу $y=\sqrt{x}$ получается верное равенство, то есть точка N(b;a) принадлежит графику функции $y=\sqrt{x}$. Верно и обратное: если некоторая точка принадлежит второму графику, то точка, у которой координатами являются те же числа, но взятые в другом порядке, принадлежат первому графику.

Таким образом, каждой точке М(а;b) графика функции $y=x^2$, где х≥0, соответствует точка N(b;a) в формулу $y=\sqrt{x}$ и наоборот. Так как точки М(а;b) и N(b;a) симметричны относительно прямой $y=x$, то и сами графики симметричны относительно этой прямой.