Математика

Иррациональные числа

Пусть точка О – начальная точка координатной прямой и ОЕ – единичный отрезок. С помощью отрезка ОЕ можно измерить длину любого отрезка.

Измерим, например, длину отрезка ОВ. Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОВ два раза, и при этом получается отрезок СВ, который меньше единичного отрезка. Значит число 2 есть приближенное значение (с недостатком) длины отрезка ОВ с точностью до 1:

ОВ≈2.

 

 

Чтобы получить более точный результат, разделим единичный отрезок ОЕ на 10 равных частей. Десятая часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке СВ три раза. При этом получается новый остаток DB, меньший десятой части отрезка ОЕ. Число 2,3 есть приближенное значение (с недостатком) длины ОВ с точностью до 0,1.

ОВ≈2,3

 

 

Продолжая процесс измерения, мы будем использовать сотую, тысячную и т.д. доли единичного отрезка и получать приближенные значения длины отрезка ОВ (с недостатком) с точностью до 0,01, 0,001 и т.д.

В процессе десятичного измерения могут представиться два случая: либо на каком-то шаге не получится остатка, либо остатки будут получаться на каждом шаге.

В первом случае результатом измерения окажется натуральное число или десятичная дробь. Во втором случае – бесконечная десятичная дробь. Так как всякое натуральное число и всякую десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, то можно считать, что результатом десятичного измерения длины отрезка всегда является бесконечная десятичная дробь.

Например, пусть отрезок ОF равен $\frac{8}{3}$ единичного отрезка. При десятичном измерении его длины, как и при делении 8 на 3, получится бесконечная десятичная периодическая дробь 2,666….

Рассмотрим еще один пример. Пусть отрезок ОК равен диагонали квадрата, стороной которого служит единичный отрезок. Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат. Из рисунка видно, что площадь этого квадрата в два раза больше площади единичного квадрата. Значит, она равна 2. Так как отрезок ОК равен стороне квадрата, то длина отрезка ОК равна числу, квадрат которого равен 2.

 

 

При десятичном измерении отрезка ОК получится бесконечная десятичная дробь, которая не является периодической. Это объясняется тем, что среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2. Докажем этот факт.

Предположим, что число, квадрат которого равен 2, является рациональным. Тогда это число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где m – целое число, n – натуральное.

Так как ${\left(\frac{m}{n}\right)}^2=2$, то $\frac{m^2}{n^2}=2$ и $m^2=2n^2$. Число 2n² четное, значит, и равное ему число m² четное. Но тогда и само число m является четным (если бы число m было нечетным, то и число m² было бы нечетным). Поэтому число m можно представить в виде m = 2k, где k – целое число. Подставим 2k вместо m в равенство m² = 2n². Получим: (2k)² = 2n², 4k² = 2n², 2k²=n².

Число 2k² четное, значит, число n² тоже четное. Тогда и число n является четным, то есть числитель и знаменатель дроби $\frac{m}{n}$ – числа четные. Это противоречит тому, что дробь $\frac{m}{n}$ несократима. Значит, неверно предположение, что число, квадрат которого равен 2, является рациональным.

Если к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им числа и нуль, то получим множество чисел, которые называются действительными числами.

Множество действительных чисел принято обозначать буквой R.

Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическими и непериодическими. Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа. Каждое такое число можно записать в виде отношения $\frac{m}{n}$, где m – целое число, а n – натуральное. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами. Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения $\frac{m}{n}$, где m – целое число, а n – натуральное.

Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Примером иррационального числа является число π, выражающее отношение длины окружности к диаметру.

π≈3,1415926…

Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (при условии, что делитель отличен от нуля), причем действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами. При выполнении действий над действительными числами в практических задачах их заменяют приближенными значениями.