Математика

Арифметический квадратный корень

Пусть известно, что площадь квадрата равна 64 см². Чему равна длина стороны этого квадрата?

Обозначим длину стороны за х см.

Тогда выражение для площади S = х·х = х² (см²).

Получим уравнение х² = 64.

У этого уравнения два корня – х₁ = 8 и х₂ = -8.

Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому условию задачи удовлетворяет только х₁.

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.

То есть квадратными корнями из 64 являются числа 8 и -8.

Число 8 – неотрицательный корень из 64, другими словами – арифметический.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначают $\sqrt{a}$. Знак $\surd$ называют знаком арифметического квадратного корня или знаком радикала. Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись $\sqrt{a}$ читают как «квадратный корень из а», слово «арифметический» при этом опускают.

Приведем примеры нахождения (еще говорят извлечения) арифметических квадратных корней.

$\sqrt{4}=2$, так как 2 – неотрицательное и 2² = 4.

$\sqrt{1,21}=1,1$, так как 1,1 – число неотрицательное и 1,1² = 1,21.

$\sqrt{0}=0$, так как 0 число неотрицательное и 0² = 0.

В общем случае $\sqrt{\mathit{a}}\mathit{=}\mathit{b}$, если выполняются два условия: $\mathit{b}\mathit{\ge }\mathit{0}$ и ${\mathit{b}}^{\mathit{2}}\mathit{=}\mathit{a}$.

При а<0 выражение $\sqrt{\mathit{a}}$ не имеет смысла.

Арифметический квадратный корень из отрицательных чисел не существует.

Например, $\sqrt{-16}$ не имеет смысла, т. к. нет такого действительного числа a, которое в квадрате равно отрицательному числу: $a^2=-16$.

При любом а, при котором выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл, верно равенство ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$.

Чтобы найти квадратный корень из числа, необходимо хорошо знать квадраты чисел.

Часто используемые квадраты целых чисел:

1² = 1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	25
121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	625

Значит, $\sqrt{81}=9$; $\sqrt{121}=11$ и т.д.

Обрати внимание!

$\sqrt{1}=1$; $\sqrt{0}=0$.

Если подкоренное число — десятичная дробь, то необходимо обращать внимание на количество цифр после запятой:

$\sqrt{0,09}=0,3$, так как 0,3² = 0,3·0,3 = 0,09

$\sqrt{0,0016}=0,04$.

Если подкоренное число заканчивается нулями, то необходимо обращать внимание на их количество:

$\sqrt{400}=20$; $\sqrt{121000}=1100$.