Математика

122. Квадратное уравнение и его корни

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bx+c = 0, где х –переменная, a, b, c – некоторые числа,

причем а≠0.

Приведем примеры квадратных уравнений:

7х²-5х+3 = 0, в этом уравнении а = 7, b = -5, с = 3;

-0,5х²+4 = 0, здесь a = -0,5; b = 0; c = 4;

3х²-6х = 0, здесь а = 3, b = -6, с = 0.

Числа а, b, с называют коэффициентами квадратного уравнения; а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

Если а – коэффициент при х² равен 1, то такое уравнение называется приведенным. Например, х²+4х+3 = 0.

Если второй коэффициент и/или свободный член равны 0, то такое квадратное уравнение называется неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

ах²+с = 0, с≠0

ах²+bx = 0, b≠0

aх² = 0

Рассмотрим решение каждого из этих видов:

1. ах²+с = 0, с≠0

   ax² = -c

   x² = -c:a

   $x=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}$

2. ах²+bx = 0, b≠0

   х(ах+b) = 0

   x₁ = 0, x₂ = -b:a

3. aх² = 0

   x=0

Разберем решения на конкретных примерах.

1. 5х²-125 = 0, здесь а = 5, b = 0, с = -125

   5х² = 125

   х² = 125:5 = 25

   х₁ = $\sqrt{25}$ = 5

   х₂ = $-\sqrt{25}$ = -5

2. 6х²+7х = 0

   x(6х+7) = 0

   x₁ = 0

   6х+7 = 0

   6х = -7

   x₂ = $-\frac{7}{6}$

3. 23х² = 0

   x² = 0:23 = 0

   x = 0

Теперь рассмотрим решение квадратного уравнения, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Основной метод, который используется для выведения формул корней квадратных уравнений, – метод выделения полного квадрата. Рассмотрим несколько конкретных примеров квадратных уравнений, которые мы решим с помощью использования этого метода.

Пример 1. Решить квадратное уравнение х²-2х-3 = 0

Коэффициенты данного квадратного уравнения: а = 1, b = -2, c = -3.

Для применения метода выделения полного квадрата воспользуемся следующей формулой:

(x-t)² = x²-2xt+t²

Метод выделения полного квадрата для данного примера состоит в том, чтобы подобрать число t так, чтобы -2xt = -2x. Значит, t=1.

Получаем:

x²-2x-3 = x²-2·x·1+1²-1²-3 = (x-1)²-4 = 0

Данное уравнение можно решать двумя способами.

Способ 1

(x-1)² = 4

x-1 = ±2

Отсюда x = 3 или x = -1.

Ответ: -1; 3.

Способ 2

(x-1)²-4 = 0

(x-1)²-2² = 0

(x-1-2)(x-1+2) = 0

(x-3)(x+1) = 0

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен 0. Поэтому данное уравнение эквивалентно двум: x-3 = 0, x = 3 и x+1 = 0, x = -1.

Ответ: -1; 3.

Мы рассмотрели метод выделения полного квадрата на частном примере. Рассмотрим еще один, чуть более сложный пример, в котором старший коэффициент не будет равняться 1.

Пример 2. Решить квадратное уравнение: 2x²-5x+2 = 0.

Коэффициенты данного квадратного уравнения: a = 2, b = -5, c = 2.

Прежде чем выделять полный квадрат, вынесем 2 за скобки в первых двух слагаемых:

$2\left(x^2-\frac{5}{2}x\right)+2=0$

Теперь в скобках выделим полный квадрат. Опять же, необходимо подобрать t так, чтобы выполнялось $-2\mathit{tx}=\left(-\frac{5}{2}\right)x$. Значит, $t=\frac{5}{4}$.

Получаем следующее уравнение:

$2\left(x^2-\frac{5}{2}x\right)+2=2\left(x^2-2\bullet \frac{5}{4}\bullet x+{\left(\frac{5}{4}\right)}^2-{\left(\frac{5}{4}\right)}^2\right)+2=2\left({\left(x-\frac{5}{4}\right)}^2-{\left(\frac{5}{4}\right)}^2\right)+2=2{\left(x-\frac{5}{4}\right)}^2-\frac{25}{8}+2=2{\left(x-\frac{5}{4}\right)}^2-\frac{9}{8}=0$

Отсюда:

$2{\left(x-\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{9}{8}$

${\left(x-\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$

$x-\frac{5}{4}=\pm \frac{3}{4}$

Отсюда $x=2$ или $x=\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$; 2.

Разобрав конкретные примеры, можем перейти к получению общей формулы корней квадратного уравнения.

Итак, рассмотрим уравнение $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$.

Вынесем старший коэффициент за скобки в первых двух слагаемых

$a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0$.

Теперь выделим в скобочках полный квадрат

$a\left(x^2+2\bullet \frac{b}{2a}\bullet x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\right)+c=0$

$a\left({\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a^2}\right)+c=0$

$a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a}+c=0$

$a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2}{4a}-c$

$a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4\mathit{ac}}{4a}$

Теперь поделим обе части уравнения на a, так как знаем, что в квадратном уравнении a≠0

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4\mathit{ac}}{4a^2}$

Выражение $\mathit{D}\mathit{=}{\mathit{b}}^{\mathit{2}}\mathit{-}\mathit{4}\mathit{ac}$ называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Пока мы будем считать, что в нашем уравнении D≥0, то есть из него можно извлечь корень.

Тогда получаем:

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{D}{4a^2}$

$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{D}}{2a}$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

То есть ${\mathit{x}}_{\mathit{1}}\mathit{=}\frac{\mathit{-}\mathit{b}\mathit{-}\sqrt{\mathit{D}}}{\mathit{2}\mathit{a}}$; ${\mathit{x}}_{\mathit{2}}\mathit{=}\frac{\mathit{-}\mathit{b}\mathit{+}\sqrt{\mathit{D}}}{\mathit{2}\mathit{a}}$

Это и есть формула для корней квадратного уравнения в общем виде.

Если теперь мы вернемся к нашим примерам, то в уравнении x²-2x-3 = 0 дискриминант равен

D = (-2)²-4·1·(-3) = 4+12 = 16.

Тогда:

$x_1=\frac{-(-2)-4}{2}=-1$;

$x_2=\frac{-(-2)+4}{2}=3$.

Если дискриминант меньше нуля, то уравнение действительных корней не имеет.