Математика

Решение неполных квадратных уравнений вида

 

Мы уже неоднократно сталкивались с уравнениями вида  или. Такие уравнения обычно называют неполными. Для начала давайте вспомним, как их решать. Самый простой способ – разложить левую часть по формуле разности квадратов. Для этого слева должна стоять действительно разность, ведь выражение, например,  по формуле разности квадратов не разложить. Так что давайте разберем три случая для разных значений .

 

1. . Квадрат действительного числа отрицательным не бывает, значит, уравнение  не имеет решений.
2. . Тогда получаем .
3. . Именно этот случай мы сейчас подробно разберём.

При решении задач обычно такие преобразования каждый раз не делают, а просто пишут: . Не забудьте про этот : раз скобок при разложении разности квадратов две, то и корня у уравнения будет два. А ведь есть соблазн, например, увидев , сразу написать: . Как вы уже поняли, это ошибка. Правильно будет написать: .

Замечание . Если у нас есть уравнение  (где ) – не забывайте про !

Замечание . Не путайте две ситуации: уравнение  и извлечение корня из . В первом случае ответом будут два числа – , как мы только что обсудили. Во втором же – только число , так как арифметический корень – это, по определению, неотрицательное число.

 

Примеры

 

 

Разберем несколько примеров.

 

1. 
2. 
3. ;
   Не забывайте проверять, чтобы правая часть уравнения была неотрицательна. В нашем случае , поэтому запись  корректна.
4. 
5. 
   Решений нет, так как правая часть отрицательна: , поэтому .
6. 
   Уравнение  решений не имеет, поэтому остается решить уравнение .
7. ; …

Ответ, конечно, верен, но можно записать и короче: . Но как догадаться, что этот корень извлекается?

 

Метод извлечения квадратного корня (уголком)

 

 

Любое извлечение квадратного корня по сути подбор. И сейчас мы разберем наиболее эффективные методы этого подбора.

 

Основной метод извлечения корня иногда называют извлечением уголком. Рассмотрим на примере, как он работает.

Пусть необходимо извлечь корень из .

1. Первым делом разбиваем число на пары цифр справа налево, получаем . Цифры могут и не разбиться на пары, если их количество нечетно. В этом случае мы просто будем считать за целую пару одну, крайнюю левую цифру, например, . Сколько пар получилось, столько цифр будет в числе, которое является ответом.
2. Далее рассмотрим крайнюю левую пару. Подберем такую цифру, квадрат которой ближе всего к нашей паре снизу. В данном случае это  (). Первую цифру 9 записываем в ответ. Далее считаем разность между  и . Получаем , сносим оставшиеся цифры вниз, как при делении в столбик (Рис. 1).
   
   Рис. 1. Шаг 2
3. Удвоим записанную нами цифру , получаем . Теперь найдем такое наибольшее , что . В данном случае подойдет . Приписываем его справа к . При этом разность равна , значит, корень извлекся, а ответ –  (Рис. 2).

Рис. 2. Шаг 3

Если бы было число не , а, например, , то корень бы не извлекался, и, чтобы найти приближенное значение, нужно продолжать извлечение корня уголком (Рис. 3).

Рис. 3. Извлечение корня для числа

Разберем еще один пример: извлечем корень из .

1. Разобьем число на группы:  – их три, значит, в результате должно получиться трехзначное число.
2. Подберем такую цифру, квадрат которой ближе всего к нашей паре снизу. Первая цифра результата , так как , тогда как . Вычтя  из , получим . Приписав к  следующую пару, получим .
3. Удвоив имеющуюся часть результата, т.е. число , получим . Подберем теперь такую наибольшую цифру , чтобы произведение двузначного числа  на  не превышало число . Такой цифрой будет , так как  – это меньше , тогда как  – это больше . Итак, вторая цифра результата  (Рис. 4).
   
   Рис. 4. Нахождение второй цифры корня
4. Вычтя  из , получим . Приписав к этому числу справа последнюю группу, получим . Удвоив имеющуюся часть результата, т.е. число , получим . Подберем теперь такую наибольшую цифру , чтобы произведение трехзначного числа  на  не превосходило . Такой цифрой будет , так как . Цифра  – последняя цифра результата. В ответе получили  (Рис. 5).

Рис. 5. Последний шаг

Обратите внимание, что если бы последняя цифра или последние две цифры исходного числа были другими, то деление можно бы было продолжать сколь угодно долго, тем самым получая более точное значение корня.

 

Пояснение метода

 

 

Почему это работает? На самом деле мы работаем с формулой квадрата суммы, только наоборот. Рассмотрим наш первый пример. Число  мы попытались представить в виде . Отсюда и отделение именно двух цифр справа: после возведения в квадрат мы получим , то есть два нуля на конце. Найдя , мы ищем такую цифру , что оставшаяся часть формулы  давала бы разность между исходным числом и квадратом первого слагаемого в скобках:  (Рис. 6). Вот откуда берется удвоение.

 

Рис. 6. Пояснение

Впрочем, есть один жульнический метод, который работает гораздо быстрее – об этом тоже стоит упомянуть.

---

 

Ветка. Более простой метод извлечения квадратного корня

Пусть требуется извлечь корень из некоторого числа, например, все те же .

Сперва заменим последние две цифры нулями и поищем ближайший снизу круглый квадрат –  (а ближайший сверху –  – квадрат , запомним это). Пока все как в методе уголком. Значит, наше искомое число .

Теперь подумаем, какая цифра может быть в конце. При возведении числа в квадрат, последней будет та же цифра, что и при возведении последней цифры в квадрат (вспомним умножение в столбик) А что в квадрате дает  на конце? Только  или . Значит, наше число либо , либо . Как определить, какое именно? Все просто: раз  ближе к , чем к , то и наше число ближе к , чем к . Получаем .

Рассмотрим еще один пример. . Заменили последние две цифры на . Получаем  – это между  и , значит, наше число начинается на . При этом на конце цифра, чей квадрат оканчивается на , это  или . Так как  ближе к , чем к , то искомое число .

Отметим два недостатка этого метода.

1. Если рассуждать точно так же, то и . Но это, разумеется, не верно. То есть метод работает только в том случае, если корень извлекается и равен натуральному числу.

2.Когда числа больше, чем -значные, применять метод становится труднее. Другой вопрос, что при решении задач школьного курса крайне редко возникают корни из -значных чисел, а вот из  и -значных очень часто.

---

 

 

Метод извлечения квадратного корня (вавилонский метод)

 

 

А что делать, если корень не извлекается нацело? В этом случае иногда требуется найти приближенное значение. И можно их находить… Все тем же уголком! Просто дописываем после запятой пары  и продолжаем процесс до той степени точности, которая требуется. Но есть и другой метод. Разберем так называемый вавилонский метод извлечения квадратного корня.

 

Пусть, например, требуется извлечь корень из , то есть решить уравнение . Запишем его так: .

Рассмотрим для начала близкое к нужному целое значение, например,  (а можно и  – все равно). . Подставим  в наше равенство. Очевидно, оно не выполняется. Тогда найдем  как среднее арифметическое  и . Получим: .

Дальше поступаем аналогично: .

Чем больше раз мы проделаем эту операцию, тем точнее получим оценку, уже на пятом шаге первые  знаков после запятой будут требуемыми: .

Почему метод работает? Попробуем объяснить на пальцах. Допустим, исходно мы выбрали , который меньше, чем нужно. Тогда число  больше искомого, ведь в произведении они дают . Но тогда их среднее арифметическое будет лежать строго между ними, и, когда мы посчитаем числа и , они будут еще ближе друг к другу. И так далее.

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы познакомились с решением уравнений вида  для различных . Для отрицательных  решений нет, поэтому извлекать корень, не проанализировав правую часть уравнения, нельзя. Для  корень уравнения равен . Для положительного  всегда будет два корня, поэтому не забывайте про . Не путайте задания: решить квадратное уравнение и извлечь корень. В первом случае – два ответа, во втором – один. Также мы рассмотрели два метода для извлечения квадратных корней – метод извлечения уголком и вавилонский метод (для приближенного нахождения значения корня).

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. Алгебра 8 класс с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2010.
2. Алимов Ш.А. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение, 2012.
3. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра 8 класс Рабочая тетрадь. М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «nsportal.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «festival.1september.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «genius.pstu.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Решите уравнения: .
2. Чему равен ? (Воспользуйтесь методом уголка)
3. Найдите приближенное значение . (Воспользуйтесь вавилонским методом)