Математика
Тема 12: Квадратные уравнения. Профильный уровеньУрок 12: Ещё одна формула для корней квадратных уравнений
- Видео
- Тренажер
- Теория
Вывод упрощённой формулы для корней квадратного уравнения
Рассмотрим квадратное уравнение .
Мы уже знаем формулу для корней квадратного уравнения: .
Рассмотрим случай, когда коэффициент легко делится на 2. Тогда: . Подставим это выражение в исходную формулу:
.
Если теперь обратно подставить , то получим: .
Основное преимущество этой формулы состоит в том, что она упрощает вычисления (в 2 или в 4 раза).
Если вернуться к исходному уравнению, то можно вспомнить о дискриминанте: , тогда под корнем в этой формуле стоит выражение: . Тогда ещё одна формула для корней квадратного уравнения выглядит следующим образом: .
Рассмотрим несколько примеров на применение полученной формулы.
Пример на применение выведенной формулы
Пример 1
Решить уравнение: .
Решение
Выпишем коэффициенты данного уравнения: .
Теперь применим полученную формулу: .
Ответ: .
Рассмотрим ещё один пример.
Пример 2
Решить уравнение: .
Решение
Выпишем коэффициенты данного уравнения: .
Теперь применим полученную формулу: .
При желании можно сократить на и числитель, и знаменатель. Однако в этом случае в знаменателе появится иррациональность, от которой обычно просят избавляться. Поэтому оставим ответ в таком виде.
Ответ: .
Более сложные примеры на применение выведенной формулы
Теперь рассмотрим пример решения квадратного уравнения с параметром.
Пример 3
Решить уравнение: .
Решение
Перепишем данное уравнение в виде: . В данном случае: .
Теперь запишем полученную нами формулу для корней квадратного уравнения (несмотря на присутствие параметра, коэффициент всё равно «хорошо» делится на 2).
.
Ответ: .
При решении данного уравнения могут возникать дополнительные вопросы.
Например:
1. Может ли у данного уравнения не быть корней? Ответ: нет, так как . То есть, наше уравнение всегда имеет два корня, причём различных.
2. Может ли у данного уравнения быть один корень? Ответ: нет. См. пояснение к предыдущему вопросу. Можно ответить на этот вопрос по-другому: – невозможно.
3. При каких значениях параметра уравнение имеет 2 различных корня? Ответ: при всех значениях. См. пояснение к первому вопросу. Можно пояснить ответ на этот вопрос следующим образом: , то есть у уравнения всегда будет 2 корня, один из которых на 4 больше второго.
На этом уроке мы вывели и научились пользоваться ещё одной формулой для корней квадратного уравнения.
На следующем уроке мы познакомимся с теоремой Виета.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение. 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
- Решить уравнение: а) ; б) ; в) .
- Решить уравнение: а) ; б).
- № 449–452. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал School.xvatit.com (Источник).
- Интернет-портал Edu.dvgups.ru (Источник).
- Интернет-портал Dpva.info (Источник).