Математика

Объяснение нового способа разложения квадратного трёхчлена на множители

 

Итак вернёмся к квадратному уравнению  , где .

 

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если   – корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

, где  – старший коэффициент,  – корни уравнения.

Итак, мы имеем квадратное уравнение – квадратный трёхчлен, где корни квадратного уравнения также называются корнями квадратного трёхчлена. Поэтому если мы имеем корни квадратного трёхчлена, то этот трёхчлен раскладывается на линейные множители.

 

Доказательство верности теоремы на примере

 

 

Доказательство:

 

Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.

Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:

Если  – корни квадратного трёхчлена, у которого , то  .

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что  .

Мы видим, что, по теореме Виета,   , т. е., подставив данные значения в формулу выше, мы получаем следующее выражение

,

что и требовалось доказать.

Вспомним, что мы доказали теорему, что если  – корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение .

Теперь давайте вспомним пример квадратного уравнения  , к которому с помощью теоремы Виета мы подбирали корни . Из этого факта мы можем получить следующее равенство благодаря доказанной теореме:

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Видим, что на множители мы разложили верно, и любой трёхчлен, если он имеет корни, может быть разложен по данной теореме на линейные множители по формуле

 

Проверка верности теоремы для любого уравнения

 

 

Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:

 

Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта

, а мы помним, что для выполнения выученной нами теоремы D должен быть больше 0, поэтому в данном случае разложение на множители по изученной теореме невозможно.

 

Формулировка новой теоремы

 

 

Поэтому сформулируем новую теорему: если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

 

Итак, мы рассмотрели теорему Виета, возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители, и теперь решим несколько задач.

 

Решение задач

 

 

Задача №1

 

В данной группе мы будем по факту решать задачу, обратную к поставленной. У нас было уравнение, и мы находили его корни, раскладывая на множители. Здесь мы будем действовать наоборот. Допустим, у нас есть корни квадратного уравнения 

Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы  были его корнями.

Для решения данной задачи существует 2 способа.

Способ 1

Поскольку  – корни уравнения, то  – это квадратное уравнение, корнями которого являются заданные числа. Теперь раскроем скобки и проверим:  

Это был первый способ, по которому мы создали квадратное уравнение с заданными корнями, в котором нет каких-либо других корней, поскольку любое квадратное уравнение имеет не более двух корней.

Способ 2

Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.

Если  – корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что  .

Для приведённого квадратного уравнения ,  , т. е. в данном случае , а .

Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.

Задача №2

Необходимо сократить дробь   .

Мы имеем трёхчлен в числителе и трёхчлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель  .

Вначале необходимо проверить, можно ли разложить данное уравнении на множители, найдём дискриминант  . Поскольку , то знак  зависит от произведения  ( должно быть меньше 0), в данном примере , т. е. заданное уравнение имеет корни.

Дальше разложим трёхчлен на множители , т. е. для решения нам необходимы корни  , для этого нам необходимо решить соответствующее квадратное уравнение:

Для решения используем теорему Виета:

В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что  , и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система:  , т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного  в систему уравнений, к примеру,  , т.е. .

Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:

Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь   .

Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя  .

, необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .

Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .

Задача №3 (задача с параметром)

При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения

 равна 0?

Если корни данного уравнения существуют, то  , вопрос: когда  .

Для того чтобы найти значения p, нам необходимо решить следующее уравнение

 . Однако не забудьте, что записать необходимые значения p мы можем не просто после решения данного уравнения, поскольку они должны как минимум существовать, это значит, что должно выполняться неравенство .

Попробуем сразу подобрать первый корень уравнения  по теореме Виета:

, отсюда видно, что , для того чтобы проверить правильность корней, проверяем их по теореме Виета:  . Мы определили, что  или , поэтому эти цифры становятся для нас подозрительными, т. е. теми, что могут удовлетворять нашему условию.

Проверим, что  подходит для нас, поскольку , такая система может существовать, поэтому из второго уравнения получаем следующее: .

Таким же образом проверим : , где мы сразу видим, что  не имеет корней, таким образом даём ответ на поставленный вопрос: При значении параметра , сумма корней квадратного уравнения равна 0.

 

Выводы

 

 

Итак, мы вспомнили теорему Виета и рассмотрели тему «Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители» с её помощью, а также выяснили, что следующее применение теоремы Виета это вычисление всех выражений, которые зависят от суммы и произведения корней.

 

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Вся элементарная математика (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал аКак? (Источник).

 

Домашнее задание

1. Разложите квадратные трёхчлены на множители: а) ; б) ; в) .
2. Сократите дроби: а)  ; б)  ; в)  ;
3. №534, №538, №543 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.